Для любых числовых выражений справедливы следующие свойства.
Свойство 1. Если к обеим частям верного числового неравенства прибавить одно и то же числовое выражение, то получим верное числовое неравенство, то есть справедливо: ; .
Доказательство. Если . Используя коммутативное, ассоциативное и дистрибутивное свойства операции сложения имеем: .
Следовательно, по определению отношения «больше» 
.
Свойство 2 . Если из обеих частей верного числового неравенства вычесть одно и то же числовое выражение, то получим верное числовое неравенство, то есть справедливо: ;
Доказательство.
По условию . Используя предыдущее свойство, прибавим к обеим частям данного неравенства числовое выражение , получим: .
Используя ассоциативное свойство операции сложения, имеем: , следовательно 
, следовательно .
Следствие. Любое слагаемое можно переносить из одной части числового неравенства в другую с противоположным знаком.
Свойство 3 . Если почленно сложить верные числовые неравенства, то получим верное числовое неравенство, то есть справедливо:
Доказательство.
По свойству 1 имеем: и , используя свойство транзитивность отношения «больше», получим: .
Свойство 4. Верные числовые неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать, сохраняя знак неравенства, из которого вычитаем, то есть: ;
Доказательство.
По определению истинных числовых неравенств 
. По свойству 3, если . По следствию свойства 2 данной теоремы, любое слагаемое можно переносить из одной части неравенства в другую с противоположным знаком. Следовательно, 
. Таким образом, если .
Свойство доказывается аналогично.
Свойство 5. Если обе части верного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, принимающее положительное значение, не меняя знака неравенства, то получим верное числовое неравенство, то есть:
Доказательство.
Из того, что 
. Имеем: 
тогда 
. Используя дистрибутивность операции умножения относительно вычитания, имеем: .
Тогда по определению отношения «больше» .
Свойство доказывается аналогично.
Свойство 6. Если обе части верного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, принимающее отрицательное значение, поменяв знак неравенства на противоположный, то получим верное числовое неравенство, то есть: ;
Свойство 7. Если обе части верного числового неравенства разделить на одно и то же числовое выражение, принимающее положительное значение, не меняя знака неравенства, то получим верное числовое неравенство, то есть:
Доказательство.
Имеем: 
. По свойству 5, получим: . Используя ассоциативность операции умножения, имеем: 
следовательно .
Свойство доказывается аналогично.
Свойство 8. Если обе части верного числового неравенства разделить на одно и то же числовое выражение, принимающее отрицательное значение, поменяв знак неравенства на противоположный, то получим верное числовое неравенство, то есть: ;
Доказательство данного свойства опустим.
Свойство 9. Если почленно перемножить верные числовые неравенства одинакового смысла с отрицательными частями, изменив знак неравенства на противоположный, то получим верное числовое неравенство, то есть:
Доказательство данного свойства опустим.
Свойство 10. Если почленно перемножить верные числовые неравенства одинакового смысла с положительными частями, не меняя знак неравенства, то получим верное числовое неравенство, то есть:
Доказательство данного свойства опустим.
Свойство 11. Если почленно разделить верное числовое неравенство противоположного смысла с положительными частями, сохранив знак первого неравенства, то получим верное числовое неравенство, то есть:
;
.
Доказательство данного свойства опустим.
Пример 1.
Являются ли неравенства 
и 
равносильными?
Решение. Второе неравенство получено из первого неравенства прибавлением к обеим его частям одного и того же выражения , которое не определенно при . Это означает, что число не может быть решением первого неравенства. Однако является решением второго неравенства. Итак, существует решение второго неравенства, которое не является решением первого неравенства. Следовательно, данные неравенства не являются равносильными. Второе неравенство является следствием первого неравенства, так как любое решение первого неравенства является решением второго.
Поле действительных чисел обладает свойством упорядоченности (п. 6, стр. 35): для любых чисел а, b имеет место одно и только одно из трех соотношений: или . При этом запись а > b означает, что разность положительна, а запись разность отрицательна. В отличие от поля действительных чисел, поле комплексных чисел не упорядочивается: для комплексных чисел понятия «больше» и «меньше» не определяются; поэтому в данной главе рассматриваются только действительные числа.
Соотношения назовем неравенствами, числа а и b - членами (или частями) неравенства, знаки > (больше) и Неравенства а > b и с > d называются неравенствами одинакового (или одного и того же) смысла; неравенства а > b и с Из определения неравенства сразу следует, что
1) любое положительное число больше нуля;
2) любое отрицательное число меньше нуля;
3) любое положительное число больше любого отрицательного числа;
4) из двух отрицательных чисел больше то, абсолютная величина которого меньше.
Все эти утверждения допускают простое геометрическое истолкование. Пусть положительное направление числовой оси идет вправо от начальной точки; тогда, каковы бы ни были знаки чисел, большее из них изображается точкой, лежащей правее точки, изображающей меньшее число.
Неравенства обладают следующими основными свойствами.
1. Несимметричность (необратимость): если , то , и обратно.
Действительно, если разность положительна, то разность отрицательна. Говорят, что при перестановке членов неравенства надо смысл неравенства изменить на противоположный.
2. Транзитивность: если , то . Действительно, из положительности разностей следует и положительность
Кроме знаков неравенства применяют также знаки неравенства и Они определяются следующим образом: запись означает, что либо либо Поэтому, например, можно писать , а также . Обычно неравенства, записанные с помощью знаков называют строгими неравенствами, а записанные с помощью знаков нестрогими неравенствами. Соответственно и сами знаки называют знаками строгого или нестрогого неравенства. Свойства 1 и 2, рассмотренные выше, верны и для нестрогих неравенств.
Рассмотрим теперь действия, которые можно производить над одним или несколькими неравенствами.
3. От прибавления к членам неравенства одного и того же числа смысл неравенства не изменяется.
Доказательство. Пусть даны неравенство и произвольное число . По определению разность положительна. Прибавим к этому числу два противоположных числа от чего оно не изменится, т. е.
Это равенство можно переписать так:
Из этого следует, что разность положительна, т. е. что
а это и надо было доказать.
На этом основана возможность перекоса любого члена неравенства из одной его части в другую с противоположным знаком. Например, из неравенства
следует, что
4. При умножении членов неравенства на одно и то же положительное число смысл неравенства не изменяется; при умножении членов неравенства на одно и то же отрицательное число смысл неравенства изменяется на противоположный.
Доказательство. Пусть тогда Если то так как произведение положительных чисел положительно. Раскрыв скобки в левой части последнего неравенства, получим , т. е. . Аналогичным образом рассматривается случай .
Точно такой же вывод можно сделать и относительно деления частей неравенства на какое-либо отличное от нуля число, так как деление на число равносильно умножению на число а числа имеют одинаковые знаки.
5. Пусть члены неравенства положительны. Тогда при возведении его членов в одну и ту же положительную степень смысл неравенства не изменяется.
Доказательство. Пусть этом случае по свойству транзитивности и . Тогда в силу монотонного возрастания степенной функции при и положительном будем иметь
В частности, если где -натуральное число, то получим
т. е. при извлечении корня из обеих частей неравенства с положительными членами смысл неравенства не изменяется.
Пусть члены неравенства отрицательны. Тогда нетрудно доказать, что при возведении его членов в нечетную натуральную степень смысл неравенства не изменится, а при возведении в четную натуральную степень изменится на противоположный. Из неравенств с отрицательными членами можно также извлекать корень нечетной степени.
Пусть, далее, члены неравенства имеют разные знаки. Тогда при возведении его в нечетную степень смысл неравенства не изменится, а при возведении в четную степень о смысле получающегося неравенства ничего определенного в общем случае сказать нельзя. В самом деле, при возведении числа в нечетную степень знак числа сохраняется и поэтому смысл неравенства не изменяется. При возведении же неравенства в четную степень образуется неравенство с положительными членами, и его смысл будет зависеть от абсолютных величин членов исходного неравенства может получиться неравенство того же смысла, что и исходное, неравенство противоположного смысла и даже равенство!
Все сказанное о возведении неравенств в степень полезно проверить на следующем примере.
Пример 1. Возвести в указанную степень следующие неравенства, изменив в случае необходимости знак неравенства на противоположный или на знак равенства.
а) 3 > 2 в степень 4; б) в степень 3;
в) в степень 3; г) в степень 2;
д) в степень 5; е) в степень 4;
ж) 2 > -3 в степень 2; з) в степень 2,
6. От неравенства можно перейти к неравенству между если члены неравенства оба положительны или оба отрицательны, то между их обратными величинами имеется неравенство противоположного смысла:
Доказательство. Если а и b - одного знака, то их произведение положительно. Разделим на неравенство
т. е. , что и требовалось получить.
Если члены неравенства имеют противоположные знаки, то неравенство между их обратными величинами имеет тот же смысл, так как знаки обратных величин те же, что и знаки самих величин.
Пример 2. Проверить последнее свойство 6 на следующих неравенствах:
7. Логарифмирование неравенств можно производить лишь в случае, когда члены неравенств положительны (отрицательные числа и нуль логарифмов не имеют).
Пусть . Тогда при будет
а при будет
Правильность этих утверждений основана на монотонности логарифмической функции, которая возрастает, если основание и убывает при
Итак, при логарифмировании неравенства, состоящего из положительных членов, по основанию, большему единицы, образуется неравенство того же смысла, что и данное, а при логарифмировании его по положительному основанию, меньшему единицы, - неравенство противоположного смысла.
8. Если , то если , но , то .
Это сразу следует из свойств монотонности показательной функции (п. 42), которая возрастает в случае и убывает, если
При почленном сложении неравенств одного и того же смысла образуется неравенство того же смысла, что и данные.
Доказательство. Докажем это утверждение для двух неравенств, хотя оно верно для любого количества складываемых неравенств. Пусть даны неравенства
По определению числа будут положительными; тогда положительной оказывается и их сумма, т. е.
Группируя иначе слагаемые, получим
и, следовательно,
а это и надо было доказать.
Нельзя сказать Ничего определенного в общем случае о смысле неравенства, получающегося при сложении двух или нескольких неравенств разного смысла.
10. Если из одного неравенства почленно вычесть другое неравенство противоположного смысла, то образуется неравенство того же смысла, что и первое.
Доказательство. Пусть даны два неравенства разного смысла. Второе из них по свойству необратимости можно переписать так: d > с. Сложим теперь два неравенства одинакового смысла и получим неравенство
того же смысла. Из последнего находим
а это и надо было доказать.
Нельзя сказать ничего определенного в общем случае о смысле неравенства, получающегося при вычитании из одного неравенства другого неравенства того же смысла.
1) Основное понятие неравенства
2) Основные свойства числовых неравенств. Неравенства содержащие переменную.
3) Графическое решение неравенств второй степени
4) Системы неравенств. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными.
5) Решение рациональных неравенств методом интервалов
6) Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля
1. Основное понятие неравенства
Неравенство — соотношение между числами (или любыми математическими выражениями, способными принимать численное значение), указывающее, какое из них больше или меньше другого. Над этими выражениями можно по определенным правилам производить следующие действия: сложение, вычитание, умножение и деление (причем при умножении или делении Н. на отрицательное число смысл его меняется на противоположный). Одно из основных понятий линейного программирования — линейные неравенства вида
a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n * b ,
где a 1 ,..., a n , b — постоянные и знак * — один из знаков неравенства, напр. ≥,
· алгебраические
· трансцендентные
Алгебраические неравенства подразделяются на неравенства первой, второй, и т. д. степени.
Неравенство - алгебраическое, второй степени.
Неравенство - трансцендентное.
2. Основные свойства числовых неравенств . Неравенства содержащие переменную
1) Графиком квадратичной функции y = ах 2 +bх + с является парабола с ветвями, направленными вверх, если а > 0 , и вниз, если а (иногда говорят, что парабола направлена выпуклостью вниз, если а > 0 и выпуклостью вверх, если а). При этом возможны три случая:
2) Парабола пересекает ось 0х (т. е. уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет два различных корня). То есть, если а
y = ах 2 +bх + с a>0 D>0 y = ах 2 +bх + с a D >0,
Парабола имеет вершину на оси 0х (т. е. уравнение ах 2 + х + с = 0 имеет один корень, так называемый двукратный корень) То есть, если d=0, то при a>0 решением неравенства служит вся числовая прямая, а при a ах 2 + х + с
y = ах 2 +bх + с a>0 D = 0 y = ах 2 +bх + с a D =0,
3) Если d0 и ниже ее при a
y = ах 2 +bх + с a>0 D 0 y = ах 2 +bх + с a D0,
4) Решить неравенство графическим способом
1. Пусть f(x) = 3х 2 -4х - 7 тогда найдем такие х при которых f(x) ;
2. Найдем нули функции.
f(x) при х .
Ответ f(x) при х .
Пусть f(x)=х 2 +4х +5 тогда Найдем такие х при которых f(x)>0,
D=-4 Нет нулей.
4. Системы неравенств. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными
1) Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств.
2) Множество решений неравенства f(х;у)>0 можно графически изобразить на координатной плоскости. Обычно линия, заданная уравнением f(х;у)=0 ,разбивает плоскость на 2 части, одна из которых является решением неравенства. Чтобы определить, какая из частей, надо подставить координаты произвольной точки М(х0;у0) , не лежащей на линии f(х;у)=0, в неравенство. Если f(х0;у0) > 0 , то решением неравенства является часть плоскости, содержащая точку М0. если f(х0;у0)
3) Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств. Пусть, например, задана система неравенств:
Для первого неравенства множество решений есть круг радиусом 2 и с центром в начале координат, а для второго- полуплоскость, расположенная над прямой 2х+3у=0. Множеством решений данной системы служит пересечение указанных множеств, т.е. полукруг.
4) Пример. Решить систему неравенств:
Решением 1-го неравенства служит множество , 2-го множество (2;7) и третьего - множество .
Пересечением указанных множеств является промежуток(2;3], который и есть множество решений системы неравенств.
5. Решение рациональных неравенств методом интервалов
В основе метода интервалов лежит следующее свойство двучлена (х-а ): точка х=α делит числовую ось на две части — справа от точки α двучлен (х‑α)>0 , а слева от точки α (х-α) .
Пусть требуется решить неравенство (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0 , где α 1 , α 2 ...α n-1 , α n — фиксированные числа, среди которых нет равных, причем такие, что α 1 (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n)>0 методом интервалов поступают следующим образом: на числовую ось наносят числа α 1 , α 2 ...α n-1 , α n ; в промежутке справа от наибольшего из них, т.е. числа α n , ставят знак «плюс», в следующем за ним справа налево интервале ставят знак «минус», затем — знак «плюс», затем знак «минус» и т.д. Тогда множество всех решений неравенства (x-α 1)(x‑α 2)...(x-α n)>0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «плюс», а множество решений неравенства (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n) будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».
1) Решение рациональных неравенств (т.е неравенств вида P(x) Q(x) где - многочлены) основано на следующем свойстве непрерывной функции: если непрерывная функция обращается в нуль в точках х1 и х2 (х1;х2) и между этими точками не имеет других корней, то в промежутках(х1;х2) функция сохраняет свой знак.
Поэтому для нахождения промежутков знакопостоянства функции y=f(x) на числовой прямой отмечают все точки, в которых функция f(x) обращается в нуль или терпит разрыв. Эти точки разбивают числовую прямую на несколько промежутков, внутри каждого из которых функция f(x) непрерывна и не обращается в нуль, т.е. сохраняет знак. Чтобы определить этот знак, достаточно найти знак функции в какой либо точке рассматриваемого промежутка числовой прямой.
2) Для определения интервалов знакопостоянства рациональной функции, т.е. Для решения рационального неравенства, отмечаем на числовой прямой корни числителя и корни знаменателя, которые как и являются корнями и точками разрыва рациональной функции.
Решение неравенств методом интервалов
Решение . Область допустимых значений определяется системой неравенств:
Для функции f(x) = - 20. Находим f(x) :
откуда x = 29 и x = 13.
f (30) = - 20 = 0,3 > 0,
f (5) = - 1 - 20 = - 10
Ответ:
}