Тангенс угла, как и другие тригонометрические функции, выражает зависимость между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Применение тригонометрических функций позволяет заменить в расчетах величины в градусном измерении на линейные параметры.
Инструкция
При наличии транспортира заданный угол треугольника можно измерить и по таблице Брадиса найти значение тангенса. Если нет возможности определить градусную величину угла, определите его тангенс с помощью замеров линейных величин фигуры. Для этого сделайте вспомогательные построения: из произвольной точки на одной из сторон угла опустите перпендикуляр на другую сторону. Измерьте расстояние между концами перпендикуляра на сторонах угла, запишите результат измерения в числитель дроби. Теперь измерьте расстояние от вершины заданного угла до вершины прямого угла, т. е. до точки на стороне угла, в которую был опущен перпендикуляр. Полученное число запишите в знаменатель дроби. Составленная по результатам измерений дробь равна тангенсу угла.
Тангенс угла можно определить расчетным путем как отношение противолежащего ему катета к прилежащему. Также можно вычислить тангенс через прямые тригонометрические функции рассматриваемого угла - синус и косинус. Тангенс угла равен отношению синуса этого угла к его косинусу. В отличие от непрерывных функций синуса и косинуса, тангенс имеет разрыв и не определен при величине угла 90 градусов. При нулевом значении угла его тангенс равен нулю. Из соотношений прямоугольного треугольника очевидно, что угол 45 градусов имеет тангенс, равный единице, поскольку катеты такого прямоугольного треугольника равны.
Тангенс угла – это число, которое определяется соотношением противолежащего и прилежащего к этому углу катетов в треугольнике. Зная только это соотношение дозволено узнать величину угла, скажем, воспользовавшись тригонометрической функцией, обратной тангенсу – арктангенсом.
Инструкция
1. Если у вас есть под рукой таблицы Брадиса в бумажном либо электронном виде, то определение угла сведется к поиску значения в таблице тангенсов. Ему будет сопоставлена величина угла – то есть то, что и требуется обнаружить.
2. Если таблиц нет, то придется вычислять значение арктангенса. Дозволено применять для этого, скажем, типовой калькулятор из состава ОС Windows. Раскройте основное меню, щелкнув кнопку «Пуск» либо нажав клавишу WIN, перейдите в раздел «Все программы», после этого в подраздел «Типовые» и выберите пункт «Калькулятор». Это же дозволено сделать через диалог запуска программ – нажмите сочетание клавиш WIN + R либо выберите в основном меню строку «Исполнить», наберите команду calc и нажмите клавишу Enter либо щелкните кнопку «OK» .
3. Переключите калькулятор в режим, тот, что разрешает вычислять тригонометрические функции. Для этого раскройте в его меню раздел «Вид» и выберите пункт «Инженерный» либо «Ученый» (в зависимости от версии применяемой операционной системы).
4. Введите знаменитое значение тангенса. Это дозволено сделать как с клавиатуры, так и щелкая надобные кнопки интерфейса калькулятора.
5. Удостоверитесь, что в поле «Градусы» стоит отметка, дабы получить итог вычисления именно в градусах, а не в радианах либо градах.
6. Поставьте отметку в чекбоксе с надписью Inv – этим вы инвертируете значения вычисляемых функций, обозначенные на кнопках калькулятора.
7. Щелкните кнопку с надписью tg (тангенс) и калькулятор вычислит значение функции обратной тангенсу – арктангенс. Оно и будет являться желанным углом.
8. Все это же дозволено проделать и с применением онлайн-калькуляторов тригонометрических функций. Обнаружить такие сервисы в интернете довольно легко с подмогой поисковых систем. Да и некоторые из поисковиков (скажем, Google) сами имеют встроенные калькуляторы.
Сайты имеют настоль трудную систему, что порой бывает сложно обнаружить его главное меню . Почаще каждого такой пункт бывает расположен в «шапке» сайта для стремительного перехода к нему. В некоторых случаях переход осуществляется посредством открытия основной страницы, тут все зависит от типа сайта.
Вам понадобится
- – браузер;
- – подключение к интернету.
Инструкция
1. Зайдите на основную страницу сайта и обнаружьте на ней ссылку на меню . Также оно может располагаться прямо на ней. Изредка главное меню может быть спрятано в выпадающем списке, для его просмотра вам нужно будет щелкнуть по ссылке для его раскрытия. Изредка оно имеет вид обыкновенного проводника Windows, и для перехода по его пунктам либо для просмотра оглавления вам нужно будет щелкнуть по плюсику рядом с наименованием директории.
2. Если вы находитесь на определенной странице сайта и не можете обнаружить ссылку для перехода к основной странице, наблюдательно посмотрите на его оглавление и обнаружьте ссылку в виде логотипа либо обыкновенного текстового наименования источника. Также вы можете перейти к основной странице при помощи ввода основного адреса сайта в соответствующую строку вашего обозревателя.
3. Обратите внимание, многие сайты могут содержать несколько меню , скажем, меню настройки профиля пользователя, где указывается его персональная информация и данные для входа, и меню сайта для перехода по его содержимому. В первом случае это может быть ссылка на управление профилем либо редактирование личных данных, параметры учетной записи и так дальше. Во втором – обыкновенное меню , которое упорядочивает содержимое, обеспечивающее переход по разделам согласно их назначению.
4. Если вам нужно обнаружить карту сайта, просмотрите основную страницу на присутствие ссылки на нее. Многие из них легко не содержат карты сайта, от того что ими дюже редко пользуются. Для перехода к основному меню сайта также обращайте внимание на основные его функции, ссылки на которые сохраняются при переходе по страницам. Находясь в определенной ветке какого-нибудь форума, вы можете перейти по ссылкам вверху либо низу блока с темами, обыкновенно там прописывается дерево папок подфорума, в котором вы находитесь.
Полезный совет
Пользуйтесь меню на основной странице.
Тангенс угла, как и другие тригонометрические функции, выражает связанность между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Использование тригонометрических функций дозволяет заменить в расчетах величины в градусном измерении на линейные параметры.
Инструкция
1. При наличии транспортира данный угол треугольника дозволено измерить и по таблице Брадиса обнаружить значение тангенса. Если нет вероятности определить градусную величину угла, определите его тангенс с поддержкой замеров линейных величин фигуры. Для этого сделайте вспомогательные построения: из произвольной точки на одной из сторон угла опустите перпендикуляр на иную сторону. Измерьте расстояние между концами перпендикуляра на сторонах угла, запишите итог измерения в числитель дроби. Сейчас измерьте расстояние от вершины заданного угла до вершины прямого угла, т. е. до точки на стороне угла, в которую был опущен перпендикуляр. Полученное число запишите в знаменатель дроби. Составленная по итогам измерений дробь равна тангенсу угла.
2. Тангенс угла дозволено определить расчетным путем как отношение противолежащего ему катета к прилежащему. Также дозволено вычислить тангенс через прямые тригонометрические функции рассматриваемого угла - синус и косинус. Тангенс угла равен отношению синуса этого угла к его косинусу. В различие от постоянных функций синуса и косинуса, тангенс имеет обрыв и не определен при величине угла 90 градусов. При нулевом значении угла его тангенс равен нулю. Из соотношений прямоугольного треугольника видимо, что угол 45 градусов имеет тангенс, равный единице, от того что катеты такого прямоугольного треугольника равны.
3. При значениях угла от 0 до 90 градусов его тангенс имеет позитивное значение, от того что синус и косинус в этом промежутке позитивны. Пределы метаморфозы тангенса на этом участке – от нуля до беспредельно крупных значений при углах, близких к прямому. При негативных значениях угла его тангенс также меняет знак. График функции Y=tg(x) на промежутке -90°
Справочные данные по тангенсу (tg x) и котангенсу (ctg x). Геометрическое определение, свойства, графики, формулы. Таблица тангенсов и котангенсов, производные, интегралы, разложения в ряды. Выражения через комплексные переменные. Связь с гиперболическими функциями.
Геометрическое определение
|BD|
- длина дуги окружности с центром в точке A
.
α
- угол, выраженный в радианах.
Тангенс (tg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине прилежащего катета |AB| .
Котангенс (ctg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине противолежащего катета |BC| .
Тангенс
Где n - целое.
В западной литературе тангенс обозначается так:
.
;
;
.
График функции тангенс, y = tg x
Котангенс
Где n - целое.
В западной литературе котангенс обозначается так:
.
Также приняты следующие обозначения:
;
;
.
График функции котангенс, y = ctg x
Свойства тангенса и котангенса
Периодичность
Функции y = tg x и y = ctg x периодичны с периодом π .
Четность
Функции тангенс и котангенс - нечетные.
Области определения и значений, возрастание, убывание
Функции тангенс и котангенс непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства тангенса и котангенса представлены в таблице (n - целое).
| y = tg x | y = ctg x | |
| Область определения и непрерывность | ||
| Область значений | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Возрастание | - | |
| Убывание | - | |
| Экстремумы | - | - |
| Нули, y = 0 | ||
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | - |
Формулы
Выражения через синус и косинус
;
;
;
;
;
Формулы тангенса и котангенс от суммы и разности
Остальные формулы легко получить, например
Произведение тангенсов
Формула суммы и разности тангенсов
В данной таблице представлены значения тангенсов и котангенсов при некоторых значениях аргумента. 
Выражения через комплексные числа
Выражения через гиперболические функции
;
;
Производные
; .
.
Производная n-го порядка по переменной x
от функции :
.
Вывод формул для тангенса > > > ; для котангенса > > >
Интегралы
Разложения в ряды
Чтобы получить разложение тангенса по степеням x , нужно взять несколько членов разложения в степенной ряд для функций sin x и cos x и разделить эти многочлены друг на друга , . При этом получаются следующие формулы.
При .
при .
где B n
- числа Бернулли. Они определяются либо из рекуррентного соотношения:
;
;
где .
Либо по формуле Лапласа: 
Обратные функции
Обратными функциями к тангенсу и котангенсу являются арктангенс и арккотангенс , соответственно.
Арктангенс, arctg
,
где n
- целое.
Арккотангенс, arcctg
,
где n
- целое.
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.
Понятия синуса (), косинуса (), тангенса (), котангенса () неразрывно связаны с понятием угла. Чтобы хорошо разобраться в этих, на первый взгляд, сложных понятиях (которые вызывают у многих школьников состояние ужаса), и убедиться, что «не так страшен черт, как его малюют», начнём с самого начала и разберёмся в понятии угла.
Понятие угла: радиан, градус
Давай посмотрим на рисунке. Вектор «повернулся» относительно точки на некую величину. Так вот мерой этого поворота относительно начального положения и будет выступать угол .
Что же ещё необходимо знать о понятии угла? Ну, конечно же, единицы измерения угла!
Угол, как в геометрии, так и в тригонометрии, может измеряться в градусах и радианах.
Углом в (один градус) называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, равную части окружности. Таким образом, вся окружность состоит из «кусочков» круговых дуг, или угол, описываемый окружностью, равен.
То есть на рисунке выше изображён угол, равный, то есть этот угол опирается на круговую дугу размером длины окружности.
Углом в радиан называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности. Ну что, разобрался? Если нет, то давай разбираться по рисунку.
Итак, на рисунке изображён угол, равный радиану, то есть этот угол опирается на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности (длина равна длине или радиус равен длине дуги). Таким образом, длина дуги вычисляется по формуле:
Где - центральный угол в радианах.
Ну что, можешь, зная это, ответить, сколько радиан содержит угол, описываемый окружностью? Да, для этого надо вспомнить формулу длины окружности. Вот она:
Ну вот, теперь соотнесём эти две формулы и получим, что угол, описываемый окружностью равен. То есть, соотнеся величину в градусах и радианах, получаем, что. Соответственно, . Как можно заметить, в отличие от «градусов», слово «радиан» опускается, так как единица измерения обычно ясна из контекста.
А сколько радиан составляют? Всё верно!
Уловил? Тогда вперёд закреплять:
Возникли трудности? Тогда смотри ответы :
Прямоугольный треугольник: синус, косинус, тангенс, котангенс угла
Итак, с понятием угла разобрались. А что же всё-таки такое синус, косинус, тангенс, котангенс угла? Давай разбираться. Для этого нам поможет прямоугольный треугольник.
Как называются стороны прямоугольного треугольника? Всё верно, гипотенуза и катеты: гипотенуза - это сторона, которая лежит напротив прямого угла (в нашем примере это сторона); катеты - это две оставшиеся стороны и (те, что прилегают к прямому углу), причём, если рассматривать катеты относительно угла, то катет - это прилежащий катет, а катет - противолежащий. Итак, теперь ответим на вопрос: что такое синус, косинус, тангенс и котангенс угла?
Синус угла - это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе.
В нашем треугольнике.
Косинус угла - это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе.
В нашем треугольнике.
Тангенс угла - это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому).
В нашем треугольнике.
Котангенс угла - это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).
В нашем треугольнике.
Эти определения необходимо запомнить ! Чтобы было проще запомнить какой катет на что делить, необходимо чётко осознать, что в тангенсе и котангенсе сидят только катеты, а гипотенуза появляется только в синусе и косинусе . А дальше можно придумать цепочку ассоциаций. К примеру, вот такую:
Косинус→касаться→прикоснуться→прилежащий;
Котангенс→касаться→прикоснуться→прилежащий.
В первую очередь, необходимо запомнить, что синус, косинус, тангенс и котангенс как отношения сторон треугольника не зависят от длин этих сторон (при одном угле). Не веришь? Тогда убедись, посмотрев на рисунок:
Рассмотрим, к примеру, косинус угла. По определению, из треугольника: , но ведь мы можем вычислить косинус угла и из треугольника: . Видишь, длины у сторон разные, а значение косинуса одного угла одно и то же. Таким образом, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса зависят исключительно от величины угла.
Если разобрался в определениях, то вперёд закреплять их!
Для треугольника, изображённого ниже на рисунке, найдём.
Ну что, уловил? Тогда пробуй сам: посчитай то же самое для угла.
Единичная (тригонометрическая) окружность
Разбираясь в понятиях градуса и радиана, мы рассматривали окружность с радиусом, равным. Такая окружность называется единичной . Она очень пригодится при изучении тригонометрии. Поэтому остановимся на ней немного подробней.
Как можно заметить, данная окружность построена в декартовой системе координат. Радиус окружности равен единице, при этом центр окружности лежит в начале координат, начальное положение радиус-вектора зафиксировано вдоль положительного направления оси (в нашем примере, это радиус).
Каждой точке окружности соответствуют два числа: координата по оси и координата по оси. А что это за числа-координаты? И вообще, какое отношение они имеют к рассматриваемой теме? Для этого надо вспомнить про рассмотренный прямоугольный треугольник. На рисунке, приведённом выше, можно заметить целых два прямоугольных треугольника. Рассмотрим треугольник. Он прямоугольный, так как является перпендикуляром к оси.
Чему равен из треугольника? Всё верно. Кроме того, нам ведь известно, что - это радиус единичной окружности, а значит, . Подставим это значение в нашу формулу для косинуса. Вот что получается:
А чему равен из треугольника? Ну конечно, ! Подставим значение радиуса в эту формулу и получим:
Так, а можешь сказать, какие координаты имеет точка, принадлежащая окружности? Ну что, никак? А если сообразить, что и - это просто числа? Какой координате соответствует? Ну, конечно, координате! А какой координате соответствует? Всё верно, координате! Таким образом, точка.
А чему тогда равны и? Всё верно, воспользуемся соответствующими определениями тангенса и котангенса и получим, что, а.
А что, если угол будет больше? Вот, к примеру, как на этом рисунке:
Что же изменилось в данном примере? Давай разбираться. Для этого опять обратимся к прямоугольному треугольнику. Рассмотрим прямоугольный треугольник: угол (как прилежащий к углу). Чему равно значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса для угла? Всё верно, придерживаемся соответствующих определений тригонометрических функций:
Ну вот, как видишь, значение синуса угла всё так же соответствует координате; значение косинуса угла - координате; а значения тангенса и котангенса соответствующим соотношениям. Таким образом, эти соотношения применимы к любым поворотам радиус-вектора.
Уже упоминалось, что начальное положение радиус-вектора - вдоль положительного направления оси. До сих пор мы вращали этот вектор против часовой стрелки, а что будет, если повернуть его по часовой стрелке? Ничего экстраординарного, получится так же угол определённой величины, но только он будет отрицательным. Таким образом, при вращении радиус-вектора против часовой стрелки получаются положительные углы , а при вращении по часовой стрелке - отрицательные.
Итак, мы знаем, что целый оборот радиус-вектора по окружности составляет или. А можно повернуть радиус-вектор на или на? Ну конечно, можно! В первом случае, таким образом, радиус-вектор совершит один полный оборот и остановится в положении или.
Во втором случае, то есть радиус-вектор совершит три полных оборота и остановится в положении или.
Таким образом, из приведённых примеров можем сделать вывод, что углы, отличающиеся на или (где - любое целое число), соответствуют одному и тому же положению радиус-вектора.
Ниже на рисунке изображён угол. Это же изображение соответствует углу и т.д. Этот список можно продолжить до бесконечности. Все эти углы можно записать общей формулой или (где - любое целое число)
Теперь, зная определения основных тригонометрических функций и используя единичную окружность, попробуй ответить, чему равны значения:
Вот тебе в помощь единичная окружность:
Возникли трудности? Тогда давай разбираться. Итак, мы знаем, что:
Отсюда, мы определяем координаты точек, соответствующих определённым мерам угла. Ну что же, начнём по порядку: углу в соответствует точка с координатами, следовательно:
Не существует;
Дальше, придерживаясь той же логики, выясняем, что углам в соответствуют точки с координатами, соответственно. Зная это, легко определить значения тригонометрических функций в соответствующих точках. Сначала попробуй сам, а потом сверяйся с ответами.
Ответы:
Не существует
Не существует
Не существует
Не существует
Таким образом, мы можем составить следующую табличку:
Нет необходимости помнить все эти значения. Достаточно помнить соответствие координат точек на единичной окружности и значений тригонометрических функций:
А вот значения тригонометрических функций углов в и, приведённых ниже в таблице, необходимо запомнить :
Не надо пугаться, сейчас покажем один из примеров довольно простого запоминания соответствующих значений :
Для пользования этим методом жизненно необходимо запомнить значения синуса для всех трёх мер угла (), а также значение тангенса угла в. Зная эти значения, довольно просто восстановить всю таблицу целиком -значения косинуса переносятся в соответствии со стрелочками, то есть:
Зная это можно восстановить значения для. Числитель « » будет соответствовать, а знаменатель « » соответствует. Значения котангенса переносятся в соответствии со стрелочками, указанными на рисунке. Если это уяснить и запомнить схему со стрелочками, то будет достаточно помнить всего значения из таблицы.
Координаты точки на окружности
А можно ли найти точку (её координаты) на окружности, зная координаты центра окружности, её радиус и угол поворота ?
Ну, конечно, можно! Давай выведем общую формулу для нахождения координат точки .
Вот, к примеру, перед нами такая окружность:
Нам дано, что точка - центр окружности. Радиус окружности равен. Необходимо найти координаты точки, полученной поворотом точки на градусов.
Как видно из рисунка, координате точки соответствует длина отрезка. Длина отрезка соответствует координате центра окружности, то есть равна. Длину отрезка можно выразить, используя определение косинуса:
Тогда имеем, что для точки координата.
По той же логике находим значение координаты y для точки. Таким образом,
Итак, в общем виде координаты точек определяются по формулам:
Координаты центра окружности,
Радиус окружности,
Угол поворота радиуса вектора.
Как можно заметить, для рассматриваемой нами единичной окружности эти формулы значительно сокращаются, так как координаты центра равны нулю, а радиус равен единице:
Ну что, попробуем эти формулы на вкус, поупражняясь в нахождении точек на окружности?
1. Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки на.
2. Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки на.
3. Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки на.
4. Точка - центр окружности. Радиус окружности равен. Необходимо найти координаты точки, полученной поворотом начального радиус-вектора на.
5. Точка - центр окружности. Радиус окружности равен. Необходимо найти координаты точки, полученной поворотом начального радиус-вектора на.
Возникли проблемы в нахождении координот точки на окружности?
Реши эти пять примеров (или разберись хорошо в решении) и ты научишься их находить!
1.
Можно заметить, что. А мы ведь знаем, что соответствует полному обороту начальной точки. Таким образом, искомая точка будет находиться в том же положении, что и при повороте на. Зная это, найдём искомые координаты точки:
2. Окружность единичная с центром в точке, значит, мы можем воспользоваться упрощёнными формулами:
Можно заметить, что. Мы знаем, что соответствует двум полным оборотам начальной точки. Таким образом, искомая точка будет находиться в том же положении, что и при повороте на. Зная это, найдём искомые координаты точки:
Синус и косинус - это табличные значения. Вспоминаем их значения и получаем:
Таким образом, искомая точка имеет координаты.
3. Окружность единичная с центром в точке, значит, мы можем воспользоваться упрощёнными формулами:
Можно заметить, что. Изобразим рассматриваемый пример на рисунке:
Радиус образует с осью углы, равные и. Зная, что табличные значения косинуса и синуса равны, и определив, что косинус здесь принимает отрицательное значение, а синус положительное, имеем:
Подробней подобные примеры разбираются при изучении формул приведения тригонометрических функций в теме .
Таким образом, искомая точка имеет координаты.
4.
Угол поворота радиуса вектора (по условию,)
Для определения соответствующих знаков синуса и косинуса построим единичную окружность и угол:
Как можно заметить, значение, то есть положительно, а значение, то есть - отрицательно. Зная табличные значения соответствующих тригонометрических функций, получаем, что:
Подставим полученные значения в нашу формулу и найдём координаты:
Таким образом, искомая точка имеет координаты.
5. Для решения данной задачи воспользуемся формулами в общем виде, где
Координаты центра окружности (в нашем примере,
Радиус окружности (по условию,)
Угол поворота радиуса вектора (по условию,).
Подставим все значения в формулу и получим:
и - табличные значения. Вспоминаем и подставляем их в формулу:
Таким образом, искомая точка имеет координаты.
КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Синус угла - это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе.
Косинус угла - это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе.
Тангенс угла - это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому).
Котангенс угла - это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).
Одним из разделов математики, с которыми школьники справляются с наибольшими трудностями, является тригонометрия. Неудивительно: для того чтобы свободно овладеть этой областью знаний, требуется наличие пространственного мышления, умение находить синусы, косинусы, тангенсы, котангенсы по формулам, упрощать выражения, уметь применять в вычислениях число пи. Помимо этого, нужно уметь применять тригонометрию при доказательстве теорем, а это требует либо развитой математической памяти, либо умения выводить непростые логические цепочки.
Истоки тригонометрии
Знакомство с данной наукой следует начать с определения синуса, косинуса и тангенса угла, однако прежде необходимо разобраться, чем вообще занимается тригонометрия.
Исторически главным объектом исследования данного раздела математической науки были прямоугольные треугольники. Наличие угла в 90 градусов дает возможность осуществлять различные операции, позволяющие по двум сторонам и одному углу либо по двум углам и одной стороне определять значения всех параметров рассматриваемой фигуры. В прошлом люди заметили эту закономерность и стали активно ею пользоваться при строительстве зданий, навигации, в астрономии и даже в искусстве.
Начальный этап
Первоначально люди рассуждали о взаимоотношении углов и сторон исключительно на примере прямоугольных треугольников. Затем были открыты особые формулы, позволившие расширить границы употребления в повседневной жизни данного раздела математики.
Изучение тригонометрии в школе сегодня начинается с прямоугольных треугольников, после чего полученные знания используются учениками в физике и решении абстрактных тригонометрических уравнений, работа с которыми начинается в старших классах.
Сферическая тригонометрия
Позже, когда наука вышла на следующий уровень развития, формулы с синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом стали использоваться в сферической геометрии, где действуют иные правила, а сумма углов в треугольнике всегда больше 180 градусов. Данный раздел не изучается в школе, однако знать о его существовании необходимо как минимум потому, что земная поверхность, да и поверхность любой другой планеты, является выпуклой, а значит, любая разметка поверхности будет в трёхмерном пространстве «дугообразной».
Возьмите глобус и нитку. Приложите нитку к двум любым точкам на глобусе, чтобы она оказалась натянутой. Обратите внимание - она обрела форму дуги. С такими формами и имеет дело сферическая геометрия, применяющаяся в геодезии, астрономии и других теоретических и прикладных областях.
Прямоугольный треугольник
Немного узнав про способы применения тригонометрии, вернемся к базовой тригонометрии, чтобы в дальнейшем разобраться, что такое синус, косинус, тангенс, какие расчёты можно с их помощью выполнять и какие формулы при этом использовать.
Первым делом необходимо уяснить понятия, относящиеся к прямоугольному треугольнику. Во-первых, гипотенуза - это сторона, лежащая напротив угла в 90 градусов. Она является самой длинной. Мы помним, что по теореме Пифагора её численное значение равно корню из суммы квадратов двух других сторон.
Например, если две стороны равны 3 и 4 сантиметрам соответственно, длина гипотенузы составит 5 сантиметров. Кстати, об этом знали ещё древние египтяне около четырех с половиной тысяч лет назад.
Две оставшиеся стороны, которые образуют прямой угол, носят название катетов. Кроме того, надо помнить, что сумма углов в треугольнике в прямоугольной системе координат равняется 180 градусам.
Определение
Наконец, твердо понимая геометрическую базу, можно обратиться к определению синуса, косинуса и тангенса угла.
Синусом угла называется отношение противолежащего катета (т. е. стороны, располагающейся напротив нужного угла) к гипотенузе. Косинусом угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Запомните, что ни синус, ни косинус не может быть больше единицы! Почему? Потому что гипотенуза - это по умолчанию самая длинная Каким бы длинным ни был катет, он будет короче гипотенузы, а значит, их отношение всегда будет меньше единицы. Таким образом, если у вас в ответе к задаче получился синус или косинус со значением, большим, чем 1, ищите ошибку в расчётах или рассуждениях. Этот ответ однозначно неверен.
Наконец, тангенсом угла называется отношение противолежащей стороны к прилежащей. Тот же самый результат даст деление синуса на косинус. Посмотрите: в соответствии с формулой мы делим длину стороны на гипотенузу, после чего делим на длину второй стороны и умножаем на гипотенузу. Таким образом, мы получаем то же самое соотношение, что и в определении тангенса.
Котангенс, соответственно, представляет собой отношение прилежащей к углу стороны к противолежащей. Тот же результат мы получим, разделив единицу на тангенс.
Итак, мы рассмотрели определения, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс, и можем заняться формулами.
Простейшие формулы
В тригонометрии не обойтись без формул - как найти синус, косинус, тангенс, котангенс без них? А ведь именно это требуется при решении задач.
Первая формула, которую необходимо знать, начиная изучать тригонометрию, говорит о том, что сумма квадратов синуса и косинуса угла равна единице. Данная формула является прямым следствием теоремы Пифагора, однако позволяет сэкономить время, если требуется узнать величину угла, а не стороны.
Многие учащиеся не могут запомнить вторую формулу, также очень популярную при решении школьных задач: сумма единицы и квадрата тангенса угла равна единице, деленной на квадрат косинуса угла. Присмотритесь: ведь это то же самое утверждение, что и в первой формуле, только обе стороны тождества были поделены на квадрат косинуса. Выходит, простая математическая операция делает тригонометрическую формулу совершенно неузнаваемой. Помните: зная, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс, правила преобразования и несколько базовых формул вы в любой момент сможете сами вывести требуемые более сложные формулы на листе бумаги.
Формулы двойного угла и сложения аргументов
Ещё две формулы, которые требуется выучить, связаны со значениями синуса и косинуса при сумме и разности углов. Они представлены на рисунке ниже. Обратите внимание, что в первом случае оба раза перемножается синус и косинус, а во втором складывается попарное произведение синуса и косинуса.
Также существуют формулы, связанные с аргументами в виде двойного угла. Они полностью выводятся из предыдущих - в качестве тренировки попробуйте получить их самостоятельно, приняв угол альфа равным углу бета.
Наконец, обратите внимание, что формулы двойного угла можно преобразовать так, чтобы понизить степень синуса, косинуса, тангенса альфа.
Теоремы
Двумя основными теоремами в базовой тригонометрии являются теорема синусов и теорема косинусов. С помощью этих теорем вы легко сможете понять, как найти синус, косинус и тангенс, а значит, и площадь фигуры, и величину каждой стороны и т. д.
Теорема синусов утверждает, что в результате деления длины каждой из сторон треугольника на величину противолежащего угла мы получим одинаковое число. Более того, это число будет равно двум радиусам описанной окружности, т. е. окружности, содержащей все точки данного треугольника.
Теорема косинусов обобщает теорему Пифагора, проецируя её на любые треугольники. Оказывается, из суммы квадратов двух сторон вычесть их произведение, умноженное на двойной косинус смежного им угла - полученное значение окажется равно квадрату третьей стороны. Таким образом, теорема Пифагора оказывается частным случаем теоремы косинусов.
Ошибки по невнимательности
Даже зная, что такое синус, косинус и тангенс, легко совершить ошибку из-за рассеянности внимания или ошибки в простейших расчётах. Чтобы избежать таких ошибок, ознакомимся с наиболее популярными из них.
Во-первых, не следует преобразовывать обыкновенные дроби в десятичные до получения окончательного результата - можно и ответ оставить в виде обыкновенной дроби, если в условии не оговорено обратное. Такое преобразование нельзя назвать ошибкой, однако следует помнить, что на каждом этапе задачи могут появиться новые корни, которые по задумке автора должны сократиться. В этом случае вы напрасно потратите время на излишние математические операции. Особенно это актуально для таких значений, как корень из трёх или из двух, ведь они встречаются в задачах на каждом шагу. То же касается округлений «некрасивых» чисел.
Далее, обратите внимание, что к любому треугольнику применима теорема косинусов, но не теорема Пифагора! Если вы по ошибке забудете вычесть удвоенное произведение сторон, умноженное на косинус угла между ними, вы не только получите совершенно неверный результат, но и продемонстрируете полное непонимание предмета. Это хуже, чем ошибка по невнимательности.
В-третьих, не путайте значения для углов в 30 и 60 градусов для синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов. Запомните эти значения, ведь синус 30 градусов равен косинусу 60, и наоборот. Их легко перепутать, вследствие чего вы неизбежно получите ошибочный результат.
Применение
Многие ученики не спешат приступать к изучению тригонометрии, поскольку не понимают её прикладного смысла. Что такое синус, косинус, тангенс для инженера или астронома? Это понятия, благодаря которым можно вычислить расстояние до далёких звёзд, предсказать падение метеорита, отправить исследовательский зонд на другую планету. Без них нельзя построить здание, спроектировать автомобиль, рассчитать нагрузку на поверхность или траекторию движения предмета. И это только самые очевидные примеры! Ведь тригонометрия в том или ином виде используется повсюду, начиная от музыки и заканчивая медициной.
В заключение
Итак, вы синус, косинус, тангенс. Вы можете использовать их в расчётах и успешно решать школьные задачи.
Вся суть тригонометрии сводится к тому, что по известным параметрам треугольника нужно вычислить неизвестные. Всего этих параметров шесть: длины трёх сторон и величины трёх углов. Всё различие в задачах заключается в том, что даются неодинаковые входные данные.
Как найти синус, косинус, тангенс исходя из известных длин катетов или гипотенузы, вы теперь знаете. Поскольку эти термины обозначают не что иное, как отношение, а отношение - это дробь, главной целью тригонометрической задачи становится нахождение корней обычного уравнения либо же системы уравнений. И здесь вам поможет обычная школьная математика.