Cтраница 1

Составление уравнений, отражающих химическое взаимодействие окисдителя и восстановителя, сводится к определению коэффициентов при формулах исходных веществ и продуктов реакции, состав которых выявлен из опыта.  

Составление уравнений для определения числа критериев рекомендуется выполнять так, чтобы в каждое из уравнений входили три переменные величины аъ а2, а3, а оставшиеся величины а4 и я включаются в уравнения поочередно.  

Составление уравнений возможно только для простейших объектов. Более сложные объекты, к которым относится большинство объектов нефтяной промышленности, изучаются пока экспериментально. Свойствами объекта, используемыми при изучении систем автоматического регулирования, являются само-выравнивание, емкость и запаздывание.  

Составление уравнений в разностной форме произведем для проводящей среды и для диэлектрика, а также для одномерных и двухмерных задач, в которы-х изменение величин поля по расстоянию происходит соответственно в одном или двух координатных направлениях.  

Составление уравнений для виртуальных вариаций демонстрируется на примере учета неголономных связей. Показано, что уравнение голономной связи с параметром является идеальной связью, когда оно описывает огибающую. Обсуждаются правила виртуального варьирования связей при двух независимых переменных.  

Составление уравнений имеет много общего с таким переводом. В легких случаях словесная формулировка почти механически распадается на ряд последовательных частей, каждую из которых можно непосредственно выразить математическими символами. В более трудных случаях условие состоит из частей, которые не могут быть непосредственно переведены на язык математических символов. В этом случае мы должны меньше обращать внимания на словесную формулировку и сосредоточить свое внимание на смысле этой формулировки. Перед тем, как приступить к математической записи, возможно нам придется по-иному сформулировать условия, все время имея в виду математические средства для записи этой новой формулировки.  

Составление уравнений таких химических процессов не представляет никаких трудностей.  

Составление уравнений в вариациях в общем виде рассмотрено ниже.  

Составление уравнения углов закручивания Q и определение его производных.  

Составление уравнений возможно только для простейших объектов. Более сложные объекты, к которым относится большинство объектов нефтяной промышленности, изучаются пока экспериментально. Свойствами объекта, используемыми при изучении систем автоматического регулирования, являются самовыравнивание, емкость и запаздывание.  

Составление уравнений аналитическим путем возможно только для относительно простых объектов, процессы или физические явления в которых достаточно хорошо изучены. В общем случае динамические свойства регулируемых объектов описываются дифференциальными уравнениями, выражающими зависимость между выходными и входными величинами во времени. Эти уравнения составляют на основании физических законов, определяющих переходные процессы в объектах.  

Составление уравнений (6 - 58) и их решение относительно Л и В. Общий метод решения этой задачи может быть указан при условии, что А и В входят в уравнение линейно.  

ОТДЕЛЕНИЕ VI.

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАВЕНСТВ.

___________

РЕШЕНИЕ И СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 1-Й СТЕПЕНИ

§ 5. Составление уравнения c одним неизвстным.

Всякая арифметическая задача состоит в том, что по нeскольким извeстным величинам и по данным соотношениям между этими извeстными величинами и другими, неизвeстными, отыскиваются нeизвeстные. Алгебра дает особый способ для рeшения арифмети-ческих задач. Этот способ основан на том, что словесно выраженные условия арифметических задач могут быть переводимы на алгебраический язык, т.е. выражаемы посредством алгебраичeских формул.

Перевод словeсно выражeнных условий задачи на алгeбраический язык вообщe называeтся составлением формул.

Составить по условиям задачи уравнение с одним неизвeстным значит так перевести эти условия на алгебраический язык, чтобы вся совокупность этих условий выразилась одним уравнением, содeржащим одно неизвeстное. Для этого необходимо, чтобы число отдeльных независимых между собою условий задачи было бы равно числу подразумeваемых в ней неизвeстных.

Вслeдствиe чрезвычайного разнообразия задач приемы составления уравнений, соотвeтствующих этим задачам, чрезвычайно разнообразны. Общих правил для составления уравнений нeт. Но есть одно общеe указание, которое руководит нашим рассуждением при переводe условий задачи на алгебраический язык и позволяет нам с самаго начала рассуждения идти вeрным путем к достижению окончательной цeли. Это общее указание, или общий принцип составлeиия уравнения мы выразим слeдующим образом:

Чтобы составить по условиям задачи уравнение с одним неизвeстным, нужно:

1) выбрать между неизвeстными, которые в задачe или прямо указываются, или подразумeваются, какое-нибудь одно, принимаемое за первое, и обозначить это неизвeстноe какой-нибудь буквой, напр., х ;

2) посредством этого обозначения и обозначений, данных в задачe, выразить всe величины, о которых в задачe прямо говорится, или которые подразумeваются, наблюдая, чтобы при составлении таких выражений постепенно принимались во внимание всe данные в задачe числа и всe относящиеся к даиным или к неизвeстным величинам условия;

3) послe такого примeнения всeх условий разыскать между составленными или просто записанными выраженияии два таких, которые в силу одного из данных условий должны быть равны между собою, и соeдинить эти выражения знаком равенства.

Примeним этот принцип к рeшению двух задач:

Задача 1 я. Число монет в одном кошелькe вдвое меньше, чeм в другом. Если выложить из первого шeсть монeт, а во второй прибавить восемь монет, то число монeт в первом окажется в семь раз менee, чeм во втором. Узнать, сколько монет в каждом кошелькe?

В этой задачe указаны нeсколько извeстных и нeсколько неизвeстных величин. Примем за первое неизвeстное число монет пeрвого кошелька и.обозначим его через х. Затeм займемся обозначeниeм всeх величин, к которым относятся условия задачи.

Число монeт перваго кошелька есть х . Отношениe чисел монет во втором и первом кошельках 2 . Значит число монет второго кошeлька 2х.

Из пeрвого вынимают 6 монeт. Поэтому в первом кошeлькe остаeтся монeт х -6 .

Во второй прибавляют 8 монет. Следовательно, во втором кошельке получится монет 2х +8 . Новое отношение между числами монет второго и первого кошелька есть . Оно также равно 7 . На этом основании составляем уравнение , решая которое, получим х= 10 , после чего нетрудно определить другие неизвестные, о которых мы здесь упоминали.

Если бы мы приняли за первое неизвестное число монет второго кошелька и обозначили бы его для отличия от предыдущаго обозначения через у , то, как легко убедиться, получилось бы другое уравнение, именно (у + 8 ):( у / 2 -6 )=7 , которое также разрешает задачу и дает ответ у =20 .

Можно было бы принять за первое неизвестиов число монвть, оказавшееся в первом кошельке после выкладки из него 6 монет; тогда, обозначив это неизвестное через z и идя тем же путем, каким мы шли при составлении первого уравнения, мы получили бы уравнение , откуда z = 4 .

Но можно было бы изменить также сам путь соотавления уравнения, напр., тем, что мы прежде приняли бы во внимание измененное отношение между числами монет, а составление уравнения основали бы на том, что известно о первоначальном отношении. В этом случае составление уравнения велось бы так:

Число монет первого кошелька после выкладки есть z . Выложено 6 монет. Значит первоначальное число монет первого кошелька z + 6. Измененное отношение между числами монет 7 . Поэтому измененное число монет второго кошелька 7z. Прибавлено было 8 монет. Следовательно, первоначальное число монет второго кошелька 7z. - 8 . Первоначальное отношение между числами монет есть Оно же равно 2 . На этом основании имеем уравнение , совместное с предыдущим, хотя и отличающееся от него по виду.

Если бы, идя этим вторым путем, мы приняли за первое неизвестное число монет второго кошелька после прибавления в него 8 монет, то, обозначив это неизвестное для отличия через и , получили бы уравнение (и -8 ):( и / 7 + 6 )=2 , откуда и =28 .

Эти разъяснения показывают, что, руководствуясь одним и тем же общим правилом для составления уравнений, мы все-таки получаем в каждой задаче разнообразные способы для достижения этой цели. Лучшим способом считается тот, который проще выражает условия задачи и быстрее ведет как к составлению, так и к решению уравнения. В данном случае первый и третий способы одинаково удобны для решения уравнения, но первый все-таки проще и потому лучше остальных.

Применяя указанное правило составления уравнений, нужно помнить, что во всякой правильно вираженной эадаче должно быть принято во внимание каждое данное число и каждое из выраженных условий.

Задача 2-я. Из города А выходит путешественник, проходящий в день по 20 верст. Через два дня навстречу ему выходит из города В другой путешественник, который проходит ежедневно по 30 верст. Расстояние между А иВ равно 190 верст. Спрашивается, когда и где встретятся оба путешественника?

1-й способ. Примем за первое неизвестное время движения первого путешественника от выхода из А до встречи, а за последнее условие то, что расстояние между А и В равно 190 верст. Тогда рассуждение будем вести так:

ІІоложим, что первый шел до встречи х дней. Ежедневно он проходил по 20 верст. Поэтому он прошел всего 20х верст.

Второй вышел позднее на 2 дня. Значит, он шел до встречи х -2 дня. Ежедневно он проходил по 30 верст. Следовательно, он прошел всего 30 (х -2 ) верст. Вместе оба путешественника прошли [20х + 30 (х -2 )] версть. Все расстояние между А и В равно 190 верст. На этом основании находим уравнение

20х + 30 (х -2 ) =190 ,

откуда х= 5 . Из этого видим, что первый путешественник шел 5 дней и прошел 100 верст, второй шел 3 дня и прошел 90 верст.

2-й способ. Примем за первое неизвестное расстояние, пройденное первым путешественником от выхода до встречи, и за последнее условие то, что второй путешественник вышел позднее первого на 2 дня. Тогда рассуждение поведется так:

Полагаем, что первый прошел до встречи у верст. Ежедневно он проходил по 20 верст. Поэтому он шел всего у / 20 дней.

Второй прошел всего (190 -у ) верст. Ежедневно он проходил по 30 верст. Значит он шел всего дней.

Разность между временами движения обоих есть и равна 2 . Следовательно, находим уравнение , откуда у =100 .

3-й способ. Первое неизвестное есть время движения второго путешественника от выхода из В до встречи, последнее условие то, что первый путашественник проходит ежедневно по 20 верст.

Положим, что второй идет до встречи z дней. Значит,первый пройдет (z +2 ) дня. Проходя ежедневно по 30 верcт, второй пройдет всeго 30z верст. Так как обоим нужно пройти 190 верст, то первому останется сделать (190 -30z ) верст. Для этого он должен делать ежедневно по верст. Так как это выражение равно 20 , то получается уравнение , откуда z = 3.

4-й способ. Первое неизвестное есть расстояние, пройденное вторым путешественником до встречи, последнее условие то, что второй проходит ежедневяо 10-ю верстами более первого.

Полагаем, что второй прошел до встречи и верст. Значит первому оставалось еще пройти (190 -и ) верст. Так как до выхода второго он уже прошел 40 верст, то после выхода второго ему оставалось еще пройти (150 -и ) верст. Разность расстояний, проходимых одновременно обоими, есть (2и -150 ) верст. Время их общего движения есть и / 30 дней.Следовательно, второй в день проходит больше первого на (2и -150 ) : и / 30 верст. Так как это выражение равно 10 , то получаетея уравнение (2и -150 ) : и / 30 =10 , которое дает и = 90 .

Предыдущие объяснения показывают, что разнообразие способов для составления уравнений в одной и той же задаче зависит как от порядка последовательно обозначаемых величин, так и от порядка последовательно принимаемых во внимание условий.

231. Два лица имеют вместе 38 рублей, причем у первого 6-ю рублями больше денег, чем у второго. Сколько денег у каждаого?

231. Два лица имеют вместе 114 рублей, причем у первого 18-ю рублями больше денег, чем у второго. Сколько денег у каждого?

232. В одном доме окон на 15 меньше, чем в другом, всего же в обоих домах 51 окно. Сколько окон в каждом?

232. В одном доме окон на 6 меньше, чем в другом; всего же в обоих домах 62 окна. Сколько окон в каждом?

233. В двух кошельках находится 81 рубль. В первом денег вдвое меньше, чем во втором. Сколько денег в каждом?

233. В двух кошельках находится 72 рубля. В первом денег в пять раз меньше, чем во втором. Сколько денег в каждом?

234. Отец старше сына втрое, а сумма лет обоих их равна 48 годам. Определить возраст обоих.

234. Отец старше сына вдвое, а сумма лет обоих равна 13 годам. Определить возраст обоих.

235. Сын моложе отда вчетверо, а разность их лет равна 27 годам. Сколько леть каждому?

235. Сын моложе отца впятеро, а разность их лет составляет 32 года. Сколько лет каждому?

236. В трех корзинах находится 47 яблок, причем в первой и во второй поровну, а в третьей на 2 яблока больше, чем в каждой из остальных. Сколько яблок в каждой корзине?

236. В трех корзинах находится 110 яблок, причем в первой и в третьей поровну, а во второй на 4 яблока меньше, чем в каждой из остальных. Сколько яблок в каждой корзине?

237. Три куска серебра весят вместе 48 фунтов. Первый тяжелее второго на 12 ф., а третий тяжелее первого на 9 фунтов. Сколько весит каждый кусок?

237. Три куска серебра весят вместе 33 ф.. Первый легче второго на 5 фунтов, а третий легче первого на 2 фунта. Сколько весит каждый кусок?

238. Сын моложе отца на 20 лет и старше дочери на 5 лет. Сумма лет всех троих равна 60 годам. Сколько лет каждому

238. Мать старше сына на 21 год и моложе отца на 7 лет. Сумма лет всех троих равна 64 годам. Сколько лет каждому?

239. На трех полках лежит всего 66 книг, причем на нижней втрое больше, а на средней вдвое болыьше, чем на верхней. Сколько книг на каждой полке?

239. На трех полках лежит всего 60 книг, причем на нижней в шесть раз больше, а на верхней в пять раз больше, чем на средней. Сколько книг на каждой полке?

240. Лес, сад и луг стоят вместе 10800 р.. Луг дороже сада в 2 раза, а лес дороже луга в три раза. Что стоит каждый из них отдельно?

240. Лес, сад и луг стоят вместе 17600 р.. Лес дороже сада в 3 раза, а луг дорожо леса в 4 раза. Что стоит каждый из них отдельно?

241. Разделить число 21 на две части так, чтобы кратное отношсние первой части ко второй равнялось дроби 3 / 4 .

241. Разделить число 48 на две части так, этобы кратное отношение второй части к первой равнялось дроби 5 / 3 .

242. Разделить число 88 на такие две части, чтобы частные от деления первой части на 5, а второй на 6 были равны.

242. Разделить число 55 на такие две части, чтобы частные от деления первой части на 7, а. второй на 4 были равны.

243. Сумма двух чисел 85, а разность их 15. Найти оба числа.

243. Сумма двух чисел 72, а разность их 8. Найти оба числа.

244. Разность двух чисел 8, а кратное отношение их равно дроби 3 / 2 .Найти эти числа.

244. Разность двух чисел 12, а кратное отношение их равно дроби 5 / 3 . Найти эти числа.

245. Разделить число 46 на две чаости так, чтобы разность частных от деления первой части на 3 и второй на 7 равнялась 2.

245. Разделить число 59 на две части так, чтобы разность частных от деления первой части на 3 и второй на 5 равнялась 1.

246. Разделить число 75 на две части так, чтобы большая часть превышала втрое разность между обеими частями.

246. Разделить число 56 на две части так, чтобы меньшая часть превышала втрое разность между обеими частями.

247. Сумма двух чисел 64. При делении большего числа на меньшее получается в частном 3 и в остатке 4. Найти эти числа.

247. Сумма двух чисел 45. При делении большего числа на меньшее получается в частном 5 и в остатке 3. Найти эти числа.

248. Разность двух чисел 35. При делении большего числа на меньшее получается в частном 4 и в остатке 2. Найти эти числа.

248. Разность двух чисел 23. При делении большего числа на меньшее получается в частном 2 и в остатке 11. Найти эти числа.

249. Одно из неизвестных двух чисел больше другого на 5. Если разделить меньшее число на 4, а большее на 3, то первое частное будет 4-мя меньше второго. Найти оба числа.

249. Одно из двух неизвестных чисел больше другого на 15. Если разделить большее число на 9, а меньшее на 2, то первое частное будеть 3-мя меньше второго. Найти оба числа.

250. Одно из двух неизвестных чисел меньше другого на 6. Если разделить большее число пополам, то полученное частное будет тремя единицами меньше другого числа. Найти оба числа.

250. Одно из двух неизвестных чисел меньше другого на 18. Если разделить большее число на три, то полученное частное будет двумя единицами больше другого числа. Найти оба числа.

251. В одном резервуаре вдвое больше воды, чем в другом; если же перелить из первого во второй 16 ведер, то в обоих окажется воды поровну. Сколько воды в каждом?

251. В одном резервуаре втрое больше воды, чем в другом; если же перелить из первого во второй 22 ведра, то в обоих окажется воды поровну, Сколько воды в каждом?

252. На рынке у двух торговок имеется всего 220 яиц; если бы вторая из них отдала первой 14 яиц, то число яиц у каждой из них оказалось бы одинаковым. Сколько яиц у каждой?

252. На рынке у двух торговок имеется всего 186 яиц; если бы вторая из них отдала первой 10 яиц, то число яиц у каждой из них оказалось бы одинаковым. Сколько яиц у каждой?

253. Некто имеет в правом кармане в 4 раза более рублей, чем в левом; если же он переложит из правого кармана в левый 6 р., то в правом окажется денег только в 3 раза более, чем в левом. Сколько денег в каждом кармане?

253. Некто ииеет в правом кармане в 3 раза более рублей, чем в левом; если же переложить из левого кармана в правый 5 рублей, то в правом окажется денег в пять раз более, чем в левом. Сколько денег в каждом кармане?

254. При расчете на фабрике двух рабочих первый из них получил за работу 12 рублями больше второго, и ему же после этого второй работник уплатил 2 руб. долгу. Оказалось, что первый понес домой денег втрое больше, чем второй. Сколько заработал каждый?

254. При расчете на фабрике двух рабочих первый из них получил за работу 20 рублями меньше второго, но при этом второй работник возвратил ему 2 руб. долгу. Оказалось, что первый понес домой денег вдвое меньше второго. Сколько заработал каждый?

255. У одного мальчика 30 копеек, у другого 11 коп.. Сколько раз им следуегь дать по одной копейке, чтобы у первого оказалось денег вдвое больше, чем у второго?

255. У одного мальчика 48 копеек, у другого 22 коп.. Сколько раз они должны истратить по одной копейке, чтобы у первого оказалось втрое больше денег, чем у второго?

256. Отцу 40 лет, а сыну 12 лет. Сколько лет тому назад отец был впятеро старше сына?

256. Отцу 49 лет, а сыну 11 лет. Через сколько лет отец будет втрое старше сына?

257. Один помещик имеет овец вчетверо больше, чем другой. Если бы оба прикупили по 9 овец, то у первого было бы овец втрое больше, чем у второго. Сколько овец у каждого?

257. Один помещнк имеет овец втрое меньше, чем другой. Если бы оба продали по 10 овец, то у первого оказалось бы овец впятеро меньше, чем у второго. Сколько овец у каждого?

258. Отец на 39 лет старше сына, а через 7 лет будет старше сына в 4 раза. Сколько лет тому и другому?

258. Отцу и сыну вместе 88 лет, а 8 лет тому назад отец был старше сына в 7 раз. Сколько лет тому и другому?

259. В одном резервуаре 48 ведер, а в другом 22 ведра воды. Из первого отлили воды вдвое больше, чем из второго, и тогда в первом осталось втрое больше воды, чем во втором. Сколько ведер вылито из каждого?

259. В одном резервуаре 42 ведра, а в другом 8 ведер воды. В первый прилито было воды втрое больше, чем во второй, и тогда оказалось в первом в четыре раза больше воды, чем во втором. Сколько ведер прилито в каждый?

260. Два лица, играя отдельно в карты, имели при начале игры- первый 72 рубля, второй 21 рубль. Первый проиграл втрое больше того, сколько второй выиграл. После игры оказалось у первого вдвое больше денег, чем у второго. Сколько выиграл второй и проиграл первый?

260. Два лица, играя отдельно в карты, имели при начале игры- первый 25 рублей, второй 12 рублей. Первый выиграл вдвое больше того, сколько второй проиграл. После игры оказалось у первого впятеро больше денег, чем у второго. Сколько проиграл второй и выиграл первый?

261. Разносчик продал в первый раз часть 2 / 7 числа бывших у него яблох, во второй раз р того же числа; тогда у него осталось всего 8 яблок. Сколько у него было яблок?

261. Разносчик продал в первый раз 1 / 9 числа бывших у него яблок, во второй раз 5 / 6 того же числа; тогда у него осталось всего 4 яблока. Сколько у него было яблок?

262. Из резервуара с водой отлита была сначала треть всего количества воды, затем 5 / 6 остатка и тогда осталось только 6 ведер. Сколько было воды в резервуаре?

262. Из резервуара с водой отлита была сначала часть 3 / 5 всего количества, затем 3 / 4 остатка и тогда осталось только 5 ведер. Сколько было воды в резервуаре?

263. В одном обществе было 40 человек мужчин, женщин и детей. Число женщиы составляло 3 / 5 числа мужчин, а число детей составляло 2 / 3 числа мужчин и женщин вместе. Сколько было мужчин, женщин и детей?

263. В одном обществе было 72 человека мужчин, женщин и детей. Число мужчин составляло 2 / 3 числа женщин, а число детей составляло 4 / 5 числа мужчин и женщин вместе. Сколько было мужчин, женщин и детей?

264. За 30 аршин сукна двух сортов заплачено всего 128 рублей; аршин первого сорта стоит 4 1 / 2 р., а аршин второго 4 р.. Сколько куплено аршивн того и другого сорта?

264. За 27 аршин сукна двух сортов заплачено всего 120 р.; аршин первого сорта стоит 5 руб.; аршин второго 3 р. 75 к.. Сколько куплено аршин того и другого серта?

265. Чайиый торговец продал 38 фунтов чаю двух сортов, ценою по 3 р. за фунт первого сорта и по 1 р. 60 к. за фунт второго сорта, и выручил при этом за весь первый сорт 22-мя рублями больше, чем за второй. Сколько продано чаю того и другого сорта?

265. Чайный торговец продал 110 фунгов чаю двух сортов, ценою по 4 1 / 2 р. за фунт первого сорта и по 2 р. 25 к. за фунт второго сорта, и выручил при этом за первый сорт 45-ю рублями меньше, чем за второй. Сколько продано чаю того и другого сорта?

266. Подрядчик нанял работника с условием платить ему 90 коп. за каждый рабочий день и вычитать с него 40 коп. за каждый нерабочий день. По прошествии 12 дней рабочий получил 6 р. 90 к.. Сколько дней он работал?

266. Подрядчик нанял работника с условием платить ему по 80 коп. за каждый рабочий день и вычитать с него 50 коп. за каждый нерабочий день. По прошествии 50 дней рабочий получил 21 р. 80 в.. Сколько дней он прогулял?

267. А и В играют на биллиарде с условием, что выигравший партию получаоет с проигравшаего 76 к.; после 20 партий оказалось, что В выиграл всего 4 р. 50 к.. Сколько партий он выиграл?

267 А и В играют на биллиарде с условием, что выигравший партию получаоет с проигравшаего 50 к.; после 12 партий оказалось, что А выиграл всего 2 р.. Сколько партий он проиграл?

268. Два курьера выехали одновременно из двух городов, находящихся на расстоянии 300 верст, и едут навстречу один другому. Первый проезжает в час 12 верст, второй 13 верст. Когда они встретятся?

268. Два курьера выехали одновременно из двух городов, находящихся на расстоянии 280 верст, и едут навстречу один другому. Первый проезжает в час 11 верст, второй 17 верст. Когда они встретятся?

269. С двух станций железной дороги, находящихся в расстоянии 77 верст, выходят одновременно два поезда и идут по одному направлению со скоростями 31 1 / 2 версть и 18 2 / 3 верст в час, причем первый идет за вторым. Когда он догонит?

269. С двух станций железной дороги, находящихся в расстоянии 38 верст, выходят одновременно два поезда и идут по одному направлению со скоростями 25 1 / 4 верст и 20 1 / 2 верст в час, причем первый идет за вторым. Когда он догонит?

270. Со станции в 12 ч. дня выходит пассажирский поезд, делающий по 32 в. в час. Через 45 минут с той же станции выходит курьерский поезд, делающий по 42 в. в час. В котором часу курьерский поезд догонит пассажирский?

270. Со станции в 9 часов утра выходит пассажирокий поезд, делающий по 28 в. в час. Через час с четвертью с той же станции выходит курьерский поезд, делающий по 40 в. в час. В котором часу курьерский поезд догонит пассажирский?

271. Какой капитал нужно отдать в рост по 6%, чтобы через 1 год 2 месяца получить прибыли 224 р.?

271. Какой капитал нужно отдать в рост по 8%, чтобы в 7 месяцев получить прибыли 182 р.?

272. По скольку процентов нужно отдать в рост капитал 4400 руб., чтобы через 1 год 5 месяцев получить прибыли 280 р. 50 к.?

272. По скольку процентов нужно отдать в рост капигал 1800 р., чтобы через 11 месяцев получить прибыли 93 р. 60 к.?

273. Купец, продав товар за 299 р., выручил 15% прибыли. Что стоит товар ему самому?

273. Купец, продав товар за 161 р., получил 7 1 / 2 % прибыли. Что стоит товар ему самому?

274. При продаже товара на сумму 429 р. получено убытку 2 1 / 2 %. Что стоит товар?

274. При продаже товара на сумму 366 р. получено убытку 8 1 / 2 % Что стоит товар?

275. По векселю за 10 месяцев до срока было уплачено 1120 р., при коммерческом учете по 8%. Найти валюту векселя.

275. По векселю за 1 год 3 месяца до срока было уплачено 839 р. 60 коп. при коммерческом учете по 7%. Найти валюту векселя.

276. Бассейн наполаяется одной трубой в 3 часа, другой в 5 часов. Во сколько времени наполнится он, если открыть одновременно обе трубы?

276. Басеейн наполняется одной трубой в 7 1 / 2 часов, другой в 5 часов. Во сколько времени наполнится он, если открыть одновременно обе трубы?

277. Бассейн наполняется одной трубой в 4 часа, а через другую может весь вытечь в 6 часов. Во сколько времени наполнится бассейн при одновременном действии обеих труб?

277. Бассейн наполняется одной трубой в 2 1 / 3 часа, а через другую может весь вытечь в 2 ч. 48 м.. Во сколко времени наполнится бассейн при одновременном действии обеих труб?

278. Два работника вместе кончают работу в 3 часа 36 мин.; один первый может ее исполнить в 6 часов. Во сколько времени сделает ту же работу второй?

278. Два работника вместе кончают работу в 12 часов; один первый может ее исполнить в 20 часов. Во сколько времена сделает ту же работу второй?

279. В бассейн проведены три трубы; через первые две вода вливается, через третью вытекает. Через первую трубу бассейн может наполниться в 3 часа, через вторую в 2 часа, а через третью вся вода может вытечь из бассейна в 6 часов. Во сколько времени бассейн наполнится, если открыть все три трубы?

279. В бассейн проведены три трубы; через первые две вода вливается, через третью вытекает. Через первую трубу бассейн может наполниться в 2 часа, через вторую в 5 часов, а чероез третью вся вода может вытечь из бассейна в 10 часов. Во сколько времени бассейн наполнится, если открыть все три трубы?

280. Из трех труб, проведенных в бассейн, первая наполняет его в 5 часов, вторая наполняет в 15 часов, а через третью весь бассейн вытекает в 3 часа. Во сколько времени полный бассейн вытечет при одновременном действин всех труб?

280. Из трех труб, проведенных в бассейн, первая наполняет его в 6 часов, вторая наполняет в 18 часов, а через третью весь бассейн вытекает в 3 часа. Во сколько времени полный бассейн вытечет при одновременном действии всех труб?

281. ІІоезд железной дороги идет из А в В со средней скоростью 30 верст в час, затем возвращается из В в А со скоростью 28 верст в час. Весь проезд туда и обратно он делает в 14 1 / 2 часов. Сколько верст от А до В ?

281. ІІоезд железной дороги идет из А в В со средней скоростью 24 версты в час, затем возвращается из В в А со скоростью 30 верст в час. Весь проезд туда и обратно он делает в 11 1 / 4 часов. Сколько верст от А до В ?

282. Из А в В вышел поезд, проходящий в час 20 верст. Черезь 8 часов выходит поезд из В в А , проходящий 30 в. в час. Расстояние АВ равно 350 в.. На каком расстоянии от А поезда встретятся?

282. Из А в В вышел поезд, проходящий в час 24 версты. Через 5 часов выходит поезд из В в А , проходящий 28 в. в час. Расстояние АВ равно 380 в., На каком расстоянии от В поезда встретятся?

283. Сумма трех чисел равна 70. Второе число при делении на первое дает в частном 2 и в остатке 1, третье при делении на второе дает в частном 3 и в остатке 3. Найти эти числа.

283. Сумма трех чисел равна 60. Второе число при делении на первое дает в частном 3 и в остатке 2, третье при делении на второе дает в частном 2 и в остатке 4. Найти числа.

284. Найти чиесло, которое при делении на 5 дает в остатке 2, а при деления на 8 дает в остатке 5, зная притом, что первое частное тремя больше второго.

284. Найти число, которое при делении на 7 дает в остатке 2, а при делении на 9 дает в остатке 4, зная притом. что первое частное двумя больше второго.

285. Некто, желая раздать имевшиеся при нем деньги нищим, рассчитал, что если каждому дать по 15 копеек, то у него не хватит 10 коп., а если каждому дать по 13 коп., то останется 6 к. лишних. Сколько было нищих и сколько денег?

285. Некто, желая раздать имевшиеся при нем деньги нищим, рассчитал, что если каждому дать по 8 коп., то останется 4 коп. лишних, а если каждому дать по 9 коп., то не хватит 2 коп.. Сколько было нищих и сколько денег?

286. Инженер размещает телеграфные столбы на некотором расстоянии. Если бы он поставил их на расстоянии 25 сажен один от другого, то надо было бы сделать еще 150 столбов, а если бы он увеличил расстояния между столбами на 5 сажен, то 70 столбов оказались бы лншними. Как велико расстояние и сколько изготовлено столбов?

286. Инженер размещаот телеграфные столбы на некотором расстоянии. Если бы он поставил их на расстоянии 30 сажен один от другого, то у него осталось бы лишних 100 столбов, а если бы он уменьшил расстояние столбов на 4 сажени, то надо было бы сделать еще 180 столбов. Как велико расстояние и сколько изготовлено столбов?

287. Некто при найме слуги обещал ему за год службы уплатить деньгамжи 144 руб. и дать одежду. Слуга расчелся через 7 месяцев а получил в уплату одежду и 54 рубля. Что стоила одежда?

287. Некто при найме слуги обещал ему за 7 месяцов службы уплатить деньгами 75 рублей и дать одежду. Слуга расчелся через 5 месяцев и получил в уплату одежду и 45 рублей. Что стоит одежда?

288. Заплачено за 46 пудов сахару на 195 руб. более, чем за 73 фунта чаю; 9 пудов сахару стоят на 30 рублей дешевле, чем 37 фунтов чаю. Что стоит фунт чаю и пуд сахару?

288. Заплачено за 21 фунт чаю на 238 рублей менее, чем за 40 пудов сахару; 15 фунтов чаю стоят на 2 руб. дороже, чем 4 пуда сахару. Что стоит фунт чаю и пуд сахару?

289. Помещик нанял двух крестьян за одинаковую поденную плату. Одному из них за 40 дней он отдал 7 р. 50 к. деньгами и 3 1 / 2 четверти овса, другому за 24 дня 4 руб. 80 к. деньгами и 2 четверти овса. Что стоит четверть овса?

289. Помещик нанял двух крестьян за одинаковую поденную плату. Одному из них за 56 дней он отдал 14 р. деньгами и 8 четвертей овса, другому за 88 дней 13 р. 50 к. деньгами и 15 четвертей овса. Что стоить четверть овса?

290. Заплачено за 25 аршин сукна и 21 арш. бархата 247 рублей. Известно, что 10 арш. бархата стоят 18-ю рублями дороже 13 аршин сукна. Что стоит аршин того и другого?

290. Заплачено за 15 аршин бархата и 52 арш. сукна 276 рублей. Известно, что 2 арш. бархата стоят 17-ю рублями дошевле 11 арш. сукна. Что стоит аршин того и другого?

291. Сумма цифр некоторого двузначного числа равна 12. Если от искомого числа отнят 18, то получится число, обозначенное теми же цифрами, но написанными в обратном порядке. Найти это число.

291. Разность цифр единиц и десятков некоторого двузначного числа равна 3. Если к искомому числу прибавить 27, то получится число, обозначенное теми же цифрами, но написанными в обратном порядке. Найти это число.

292. В некотором двузначном числе число десятков вдвое более числа единиц. Если цифры зтого числа переставим, то получим число, меньшее искомого на 36. Найти это число.

292. В некотором двузначном числе число десятков втрое менее числа единиц. Если цифры зтого числа переставим, то получим число, большее искомого на 36. Найти это число.

293. А играет в шашки с В и выигрывает у него из каждых четырех партий три, потом играет с С и у последнего выигрывает из каждых трех партий две. Всего А сыграл 21 партию и выиграл из них 15. Сколько партий сыграл он с В и с С ?

293. А играет в шашки с В и проигрывает ему из каждых восьми партий три, потом играет с С и проигрывает последному из каждых пяти партий две. В общем А сыграл 26 партий и проиграл из них 10. Сколько партий сыграл он с В и с С ?

294. Который теперь час, если 1 / 5 числа часов, прошедших от полудня, равна 1 / 3 числа часов, оставшихся до полуночи?

294. Который теперь час, если 1 / 11 числа часов, прошедших от полудня, равна 1 / 13 числа часов, оставшихся до полуночи?

295. Найти вес рыбы, зная, что хвост ее весит 2 ф., голова весит столько, сколько весит хвост и половина туловища, а туловище весит столько, столько голова и хвост.

295. Найти вес рыбы, зная, что голова ее весит 7 ф., хвост весит столько, сколько весит голова и половина туловища, а туловище весит сколько, сколько хвост и голова.

296. Некоторая сумма должна быть разделена можду двумя лицами так, чтобы части первого и второго относились между собой, как числа 5 и 3, и чтобы часть первого была на 50 руб. более 5 / 9 всей суммы. Как велика часть каждого?

296. Некоторая сумма должна быть разделена между двумя лицами так, чтобы части перваого и второго относились между собою, как числа 7 и 4, и чтобы часть второго была на 21 руб. меньше 5 / 12 всей сумиы. Как велика часть каждого?

297. Товар продан с убытком за 420 руб.; если бы его продали за 570 р., то полученная прибыль была бы в 5 раз более понесенного убытка. Что стоит товар?

297. Товар продан с прибылью за 520 р.; если бы его продали за 320 р., то получился бы убыток, составляющий 3 / 7 вырученной прибыли. Что стоит товар?

298. Числа аршин ситцу, содержащихся в трех кусках, относятся как 2:3:5. Если отрезать от первого куска 4 аршина, от второго 6 арш. и от третьего 10 арш., то оставшееся количество всего ситца составит 5 / 6 прежнего количества. Сколько аршин в каждом куске?

298.Числа аршин ситцу, содержащихся в трех кусках, относятся как 3:5:8. Если отрезать от первого 10 аршин, от второго 20 арш. и от третьего 30 арш., то оставшееся количество всего ситца составит 5 / 8 прежнего количества. Сколько аршин в каждом куске?

299. Из резервуара вылита сначала половина всей бывшей в нем воды и полведра, потом половина остатка и полведра, наконец еще половина остатка и полведра; после этого в резервуаре осталось 6 ведер. Сколько было воды вначале?

299. Из резервуара вылита треть бывшей в нем воды и треть ведра, потом треть остатка и треть ведра, наконец еще треть остатка и треть ведра; после этого в резервуаре осталось 7 ведер Сколько было воды вначале?

300. Несколько лиц делят некоторую сумму следующим образом; первый получает 100 р. и пятую часть остатка, второй 200 рублей и пятую часть нового остатка, третий 300 рублей и пятую часть остатка и т. д.. Оказалось, что вся сумма разделена на равные части. Как велика эта сумма, сколько участников в дележе и сколько досталось каждому?

300. Несколько лиц делят некоторую сумму следующим образом: первый получает 50 рублей и шестую часть остатка, второй 100 рублей и шестую часть нового остатка, третий 150 рублей и шестую часть остатка и т. д.. Оказалось, что вся сумма разделена на равные части. Как велика эта сумма, сколько участников в дележе и сколько досталось каждому?

Нижеследующие задачи отличаются от предыдущих тем, что данные выражены неявно, именно буквами. Эти задачи принадлежат к таким же типам, как прежние. При решении их повторяются важнейшие из тех приемов, которые применялись раньше, но, вследствие неявного вида данных, рассуждения имеют более общий и вместе с тем более отвлеченный характер. В новых упражнениях нужно так же, как и в прежних, заботиться прежде всего о том, чтобы выразить через главное неизвестное и через данные обозначения все величины, о которых в задаче прямо говорится, или которые в ней подразумеваются, и при этом нужно последовательно принимать во внимание все обозначения, данные в задаче, и все условия, относящиеся к данным и к искомым, когда таким образом все условия будут употреблены в дело, то сама собой явится мысль о том, как составить требуемое уравнение.

301. Разность двух чисел s q . Найти оба числа.

301.Разность двух чисел d , кратное отношение большего к меньшему q . Найти оба числа.

302. Разделить число а на три части так, чтобы первая часть была больше второй на число т и меньше третьей в п раз.

302. Разделить число а на три части так, чтобы первая часть была меньше второй на число т и больше третьей в п раз.

303. Одно число в а раз меньше другого. Если прибавить к,первому числу т , а ко второму п , то первая сумма будет в b раз меньше второй. Найти эти числа.

303. Одно число в а раз меньше другого. Если отнять от первого числа т , а от второго п , то первая разность будет в b раз больше второй. Найти эти числа.

304. Числитсль дроби меньше ее знаменателя на число а ; Если же от обоих членов дроби отнять по b т / п . Найти члены дроби.

304. Числитель дроби больше ее знаменателя на число а . Если же прибавить к обоим членам дроби по b , то получится дробь, равная дроби т / п . Найти члены дроби.

305. Разделить число а р раз больше второй и в q раз меньше третьей.

305. Разделить число а на такие три части, чтобы первая была. в р раз меньше второй и в q раз больше третьей.

306. Знаменатель дроби большое ее числителя в а раз. Если прибавить к числителю число b и вычесть из знаменателя число с , то получится дробь, равная дроби k / l . Найти члены дроби.

306. Знаменатель дроби меньшве ее числителя в а раз. Если вычесть из числителя число b и прибавнть к знаменателю число с , то подучится дробь, равная дроби k / l . Найти члены дроби.

307. Разделить число т на две части так, чтобы разность частных от деления первой части на а и второй на b раваялась бы r.

307. Разделить число т на две части так, чтобы сумма частных от деления первой части на а и второй на b равнялась бы s .

308. Работник за каждый рабочий день получает по а копеек, а за каждый нерабочий с него вычитают по b копеек. По прошествии п дней чистая выручка рабочего равна s рублям. Сколько было рабочих дней и сколько нерабочих?

308. Работник за каждый рабочий день получает по а копеек а за каждый нерабочий с него вычитают по b копеек. По прошествии п дней работник должен сам уплатить 5 рублей, Сколько было рабочих дней и сколько нерабочих?

309. Разность двух чисел d . При делении уменьшаемого на вычитаемое получается частное q и остаток, равный половине разности. Найти эти числа

309. Разность двух чисел d . При делении уменьшаемого на вычитаемое получается остаток r и частное, равное половине разности. Найти эти числа.

310. За несколько аршин сукна. заплачено а рублей; если бы купили сукна более на с b

310. За несколько аршин сукна заплачено а рублей; если бы купили сукна менее на с аршин, то нужно было бы заплатить b рублей. Сколько аршин куплено?

311. Какое число, будучи умножено на a , увеличится на число т ?

311. Какое число, будучи разделено на а , уменьшится на число т ?

312. При продаже дома за m рублей получено р процентов убытку. Что стоил он самому продавцу?

312. При продаже дома за т рублсй получено р процентов прибыли. Что стоил он самому продавцу?

313. Два курьера выезжают одновременно из двух мест А и В и едут по одному направлению от А к В и далее. ІІервый проезжает в час а верст, второй b верст. Расстояние АВ равно d верст. Когда и на каком расстоянии от А первый курьер догонит второго?

313. Два курьера выезжают одновременно из двух мест А и В и едут навстречу один другому. Первый проезжает в час а верст, второй b верст. Расстояние АВ равно d верст. Когда. и на каком расстоянии от А оба курьера встретятся?

314. Переднее колесо экипажа имеет окружность в а футов, окружность заднего b футов. Какое расстояние должен пройти экипаж, чтобы переднее колесо сделало на п оборотов большо заднего?

314. Переднее колесо экипажа имеет окружность на а футов меньшую, чем заднее. Какое расстояние должен пройти экипаж, чтобы переднее колесо сделало т , а заднее п оборотов?

315. В бассейн проведены две трубы, которые обе наполняют его, первая при отдельном действии в а часов, вторая также при отдельном действии в b часов. Во сколько времени наполнится бассевйн при одновременном действии обеих труб?

315. В бассейн проведены две трубы, из которых первая при отдельном действии наполняет его в а часов, а вторая также при отдельном действии выливает весь бассейн в b часов. Во сколько времени наполнится бассейн при одновременном дeйствии обeих труб?

316. Окружность заднего колеса экипажа в а раз большe окружности переднего колеса. Экипаж проeхал т футов, и при этом переднеe колесо сдeлало к оборотами большe заднего. Опредeлить окружности обоих колес и числа оборотов.

316. Окружность переднего колеса на а футов меньше окружности заднего. Экипаж проeхал т футов, и при этом заднеe колесо сдeлало в к раз меньше оборотов, чeм переднеe. Опрeдeлить окружности обоих колес и числа оборотов.

317. Народонаселение одного города увеличивается ежегодно на р % сравнительно с народонаселением предыдущего года. В настоящео время в городe т

317. Народонаселениe одного города уменьшается ежегодно на р % сравнительно с народонаселением предыдущего года. В настоящсе время в городe т жителей. Сколько было жителей 3 года назад?

318. Двоe рабочих, работая одновременно, кончают работу в а часов. Один первый сдeлает ту же работу в b , раз скорee, чeм один второй. Во сколько времени каждый из рабочих кончит работу?

318. Двоe рабочих, работая одновременно, кончают работу в а часов. Один пeрвый сдeлает ту жое работу в b , раз медлeннee, чeм один второй. Во сколько времени каждый из рабочих кончает работу?

319. Лодочник, гребя по течению рeки, проплывает п сажeн в t часов; грeбя жe против течения, он употребляeт на и часов болee, чтобы проплыть то жe расстояние. Опредeлить часовую скорость течения.

319. Лодочник, гребя против тeчения, проплывает п сажен в t часов; гребя жe по течению, он употребляет на и часов мeнee, чтобы проплыть то жe расстояниe. Опредeлить часовую скорость течeния.

320. Тeло А движeтся со скоростью v мeтров в секунду. С какой скоростью должно было двигаться другое тeло В , вышeдшеe из того жe мeста t сeкундами раньшe, если оно было настигнуто тeлом А через и секунд послe начала движения этого тeла?

320. Тeло A движeтся со скоростью v мeтров в секунду. С какой скоростью должно двигаться другоe тeло В , выходящеe из того же мeста и секундами позже, если оно догоняeт тeло А через и секукнд послe начала своeго движения?

321. Из двух сортов товару, цeною в а рублей и в b рублей за фунт, составлено d т рублей за фунт получено s рублей убытку. Сколько фунтов того и другого сорта пошло на составлениe смeси?

321. Из двух сортов товару, цeною в а рублей и в b рублей за фунт, составлено d фунтов смeси. При продажe этой смeси по т рублей за фунт получено s рублей прибыли. Сколько фунтов того и другого сорта пошло вна составлениe смeеси?

322. Б бассейн, вмeщающий т ведeр, проведены двe трубы. Первая вливает в бассейн а ведер в час. Вторая выливает весь бассейн в b часов. Во сколко часов наполнится бассейн при одновременном дeйствии обeих труб?

322. В бассейн, вмeщающий т ведер, проведены двe трубы. Первая наполняет весь бассейн в а часов. Вторая в час выливает из бассейна b ведер. Во сколько часов наполнится бассeйн при одновременном дeйствии обeих труб?

323. Раздeлить число а на три части так, чтобы первая относилась ко второй, как т: п , а вторая к третьeй, как р: q.

323. Раздeлить число а на три части так, чтобы вторая относилась к первой, как т: п , а третья ко второй, как р: q.

324. Из двух мeст А и В п сажен, плывут навстрeчу друг другу двe лодки, управляемые гребцами с одинаковой силой. ІІервая, плывущая по тeчeнию, проходит всe расстояние АВ в t часов; вторая, плывущая против течeния, употребляет на то жe раcстояниe большe времени на и часов. Опрeдeлить часовую скорость течения.

324. Из двух мeст А и В на рeкe, отстоящих одно от другого на п сажен, плывут навстрeчу друг другу двe лодки, управляемые гребцами с одинаковой силой. Пeрвая, плывущая против тeчеяия, проходит всe расстояние АВ в t часов; вторая, плывущая по течению, употребляет на то же расстояниe меньше врeмени на и часов. Опредeлить часовую скорость течения.

325. Опредeлить капиталы трех лиц, зная, что первый со вторым имeют вмeстe т рублей, второй с третьим п рублей, и что капитал пeрвого в р раз мeньшe капитала третьего.

325. Опрeдeлить капиталы трех лиц, зная, что первый с третьим имeют вмeстe т рублей, второй с третьим п рублей, и что капитал первого в р раз больше капитала второго.

326. Два тeла движутся навстрeчу одно другому из двух мeст, находящихся в расстоянии d метров. Первоe движется со скоростью v метров в секунду. С какой скоростью должно двигаться второе тeло, eсли оно вышло на h сeкунд позднee первого и должно идти до встрeчи всeго п секунд?

326. Два тeла движутся навстрeчу одно другому из двух мeст, находящихся в расстоянии d метров. Первое движется со скоростью v метров в секунду. С какой скоростью должно двигаться второе тeло, если оно вышло на h секунд раньше первого и должно идти до встрeчи всего п секунд?

327. Вексель, учтенный коммерчески по р % за п лeт до срока, дает учет больший математического, сдeланный также по р % и за п лeт, на а рублей. Найти валюту всксeля.

327. Вексeль, учтенный коммерчески по р % за п лeт, стоит на т рублей дешевле, чeм при учетe матeматическом, сдeланном такжe по р % и за п лeт. На какую сумму дан вексель?

328. Два курьeра выeзжают из мeст А и B , находящихся в расстоянии d вeрст, и eдут навстрeчу, проeзжая в час- первый u версгь и второй v верст; выeзд первoго из А состоялся на h В . Опредeлить, когда и гдe встрeтятся курьеры?

328. Два курьера выeзжают из мeст А и B находящихся в расстоянии d вeрст, и eдут оба в одном и том же направлении, проeзжая в час-первый и верст и второй v верст; выeзд пeрваго из А состоялся на h часов раньше выeзда второго из B . Опредeлить, когда и гдe первый курьер догонит второго?

329. Раздeлить число а на такия три части, что если к пeрвой приложить т , вторую сначала уменьшииь на m , а затeм умножить на п , и третью раздeлить на п , то полученные результаты окажутся равными.

329. Раздeлить число а на такия три части, что если первую умоньшить на т , вторую сначала увеличить на т , потом умножить на п , и третью раздeлить на п , то получатся равныe результаты.

330. В бассейн проведены три трубы А, В и С . Через А и С вода вливается, через В А и В бассейн наполняется в т часов, при дeйствии А и C в п часов, при дeйствии В и С в р часов. Во сколько временни наполнится бассейн при одновременном дeйствии всeх трех труб?

330. В бассейн проведены три трубы А, В и С . Через А вода вливается, через В и С вытекает. При совмeстном дeйствии труб А и В бассейн наполняется в т часов, при дeйствии А и С в п часов, трубы В и С выливают весь бассейн в р часов. Во сколько времени весь бассейн вытечeт при одновременном дeйствии всeх трех труб?

Поговорим о том, как составить химическое уравнение, ведь именно они являются основными элементами данной дисциплины. Благодаря глубокому осознанию всех закономерностей взаимодействий и веществ, можно управлять ими, применять их в различных сферах деятельности.

Теоретические особенности

Составление химических уравнений - важный и ответственный этап, рассматриваемый в восьмом классе общеобразовательных школ. Что должно предшествовать данному этапу? Прежде чем педагог расскажет своим воспитанникам о том, как составить химическое уравнение, важно познакомить школьников с термином «валентность», научить их определять данную величину у металлов и неметаллов, пользуясь таблицей элементов Менделеева.

Составление бинарных формул по валентности

Для того чтобы понять, как составить химическое уравнение по валентности, для начала нужно научиться составлять формулы соединений, состоящих из двух элементов, пользуясь валентностью. Предлагаем алгоритм, который поможет справиться с поставленной задачей. Например, необходимо составить формулу оксида натрия.

Сначала важно учесть, что тот химический элемент, который в названии упоминается последним, в формуле должен располагаться на первом месте. В нашем случае первым будет записываться в формуле натрий, вторым кислород. Напомним, что оксидами называют бинарные соединения, в которых последним (вторым) элементом обязательно должен быть кислород со степенью окисления -2 (валентностью 2). Далее по таблице Менделеева необходимо определить валентности каждого из двух элементов. Для этого используем определенные правила.

Так как натрий - металл, который располагается в главной подгруппе 1 группы, его валентность является неизменной величиной, она равна I.

Кислород - это неметалл, поскольку в оксиде он стоит последним, для определения его валентности мы из восьми (число групп) вычитаем 6 (группу, в которой находится кислород), получаем, что валентность кислорода равна II.

Между определенными валентностями находим наименьшее общее кратное, затем делим его на валентность каждого из элементов, получаем их индексы. Записываем готовую формулу Na 2 O.

Инструкция по составлению уравнения

А теперь подробнее поговорим о том, как составить химическое уравнение. Сначала рассмотрим теоретические моменты, затем перейдем к конкретным примерам. Итак, составление химических уравнений предполагает определенный порядок действий.

• 1-й этап. Прочитав предложенное задание, необходимо определить, какие именно химические вещества должны присутствовать в левой части уравнения. Между исходными компонентами ставится знак «+».
• 2-й этап. После знака равенства необходимо составить формулу продукта реакции. При выполнении подобных действий потребуется алгоритм составления формул бинарных соединений, рассмотренный нами выше.
• 3-й этап. Проверяем количество атомов каждого элемента до и после химического взаимодействия, в случае необходимости ставим дополнительные коэффициенты перед формулами.

Пример реакции горения

Попробуем разобраться в том, как составить химическое уравнение горения магния, пользуясь алгоритмом. В левой части уравнения записываем через сумму магний и кислород. Не забываем о том, что кислород является двухатомной молекулой, поэтому у него необходимо поставить индекс 2. После знака равенства составляем формулу получаемого после реакции продукта. Им будет в котором первым записан магний, а вторым в формуле поставим кислород. Далее по таблице химических элементов определяем валентности. Магний, находящийся во 2 группе (главной подгруппе), имеет постоянную валентность II, у кислорода путем вычитания 8 - 6 также получаем валентность II.

Запись процесса будет иметь вид: Mg+O 2 =MgO.

Для того чтобы уравнение соответствовало закону сохранения массы веществ, необходимо расставить коэффициенты. Сначала проверяем количество кислорода до реакции, после завершения процесса. Так как было 2 атома кислорода, а образовался всего один, в правой части перед формулой оксида магния необходимо добавить коэффициент 2. Далее считаем число атомов магния до и после процесса. В результате взаимодействия получилось 2 магния, следовательно, в левой части перед простым веществом магнием также необходим коэффициент 2.

Итоговый вид реакции: 2Mg+O 2 =2MgO.

Пример реакции замещения

Любой конспект по химии содержит описание разных видов взаимодействий.

В отличие от соединения, в замещении и в левой, и в правой части уравнения будет два вещества. Допустим, необходимо написать реакцию взаимодействия между цинком и Алгоритм написания используем стандартный. Сначала в левой части через сумму пишем цинк и соляную кислоту, в правой части составляем формулы получаемых продуктов реакции. Так как в электрохимическом ряду напряжений металлов цинк располагается до водорода, в данном процессе он вытесняет из кислоты молекулярный водород, образует хлорид цинка. В результате получаем следующую запись: Zn+HCL=ZnCl 2 +H 2 .

Теперь переходим к уравниванию количества атомов каждого элемента. Так как в левой части хлора был один атом, а после взаимодействия их стало два, перед формулой соляной кислоты необходимо поставить коэффициент 2.

В итоге получаем готовое уравнение реакции, соответствующее закону сохранения массы веществ: Zn+2HCL=ZnCl 2 +H 2 .

Заключение

Типичный конспект по химии обязательно содержит несколько химических превращений. Ни один раздел этой науки не ограничивается простым словесным описанием превращений, процессов растворения, выпаривания, обязательно все подтверждается уравнениями. Специфика химии заключается в том, что с все процессы, которые происходят между разными неорганическими либо органическими веществами, можно описать с помощью коэффициентов, индексов.

Чем еще отличается от других наук химия? Химические уравнения помогают не только описывать происходящие превращения, но и проводить по ним количественные вычисления, благодаря которым можно осуществлять лабораторное и промышленное получение разных веществ.

Уравнение прямой на плоскости.
Направляющий вектор прямой. Вектор нормали

Прямая линия на плоскости – это одна из простейших геометрических фигур, знакомая вам ещё с младших классов, и сегодня мы узнаем, как с ней справляться методами аналитической геометрии. Для освоения материала необходимо уметь строить прямую; знать, каким уравнением задаётся прямая, в частности, прямая, проходящая через начало координат и прямые, параллельные координатным осям. Данную информацию можно найти в методичке Графики и свойства элементарных функций , я её создавал для матана, но раздел про линейную функцию получился очень удачным и подробным. Поэтому, уважаемые чайники, сначала разогрейтесь там. Кроме того, нужно обладать базовыми знаниями о векторах , иначе понимание материала будет неполным.

На данном уроке мы рассмотрим способы, с помощью которых можно составить уравнение прямой на плоскости. Рекомендую не пренебрегать практическими примерами (даже если кажется очень просто), так как я буду снабжать их элементарными и важными фактами, техническими приёмами, которые потребуются в дальнейшем, в том числе и в других разделах высшей математики.

• Как составить уравнение прямой с угловым коэффициентом?
• Как ?
• Как найти направляющий вектор по общему уравнению прямой?
• Как составить уравнение прямой по точке и вектору нормали?

и мы начинаем:

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Всем известный «школьный» вид уравнения прямой называется уравнением прямой с угловым коэффициентом . Например, если прямая задана уравнением , то её угловой коэффициент: . Рассмотрим геометрический смысл данного коэффициента и то, как его значение влияет на расположение прямой:

В курсе геометрии доказывается, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла между положительным направлением оси и данной прямой : , причём угол «откручивается» против часовой стрелки.

Чтобы не загромождать чертёж, я нарисовал углы только для двух прямых. Рассмотрим «красную» прямую и её угловой коэффициент . Согласно вышесказанному: (угол «альфа» обозначен зелёной дугой). Для «синей» прямой с угловым коэффициентом справедливо равенство (угол «бета» обозначен коричневой дугой). А если известен тангенс угла, то при необходимости легко найти и сам угол с помощью обратной функции – арктангенса. Как говорится, тригонометрическая таблица или микрокалькулятор в руки. Таким образом, угловой коэффициент характеризует степень наклона прямой к оси абсцисс .

При этом возможны следующие случаи:

1) Если угловой коэффициент отрицателен: , то линия, грубо говоря, идёт сверху вниз. Примеры – «синяя» и «малиновая» прямые на чертеже.

2) Если угловой коэффициент положителен: , то линия идёт снизу вверх. Примеры – «чёрная» и «красная» прямые на чертеже.

3) Если угловой коэффициент равен нулю: , то уравнение принимает вид , и соответствующая прямая параллельна оси . Пример – «жёлтая» прямая.

4) Для семейства прямых , параллельных оси (на чертеже нет примера, кроме самой оси ), углового коэффициента не существует (тангенс 90 градусов не определён) .

Чем больше угловой коэффициент по модулю, тем круче идёт график прямой .

Например, рассмотрим две прямые . Здесь , поэтому прямая имеет более крутой наклон. Напоминаю, что модуль позволяет не учитывать знак, нас интересуют только абсолютные значения угловых коэффициентов.

В свою очередь, прямая более крутА, чем прямые .

Обратно: чем меньше угловой коэффициент по модулю, тем прямая является более пологой .

Для прямых справедливо неравенство , таким образом, прямая более полога. Детская горка, чтобы не насадить себе синяков и шишек.

Зачем это нужно?

Продлить ваши мучения Знания вышеперечисленных фактов позволяет немедленно увидеть свои ошибки, в частности, ошибки при построении графиков – если на чертеже получилось «явно что-то не то». Желательно, чтобы вам сразу было понятно, что, например, прямая весьма крутА и идёт снизу вверх, а прямая – очень полога, близко прижата к оси и идёт сверху вниз.

В геометрических задачах часто фигурируют несколько прямых, поэтому их удобно как-нибудь обозначать.

Обозначения : прямые обозначаются маленькими латинскими буквами: . Популярный вариант – обозначение одной и той же буквой с натуральными подстрочными индексами. Например, те пять прямых, которые мы только что рассмотрели, можно обозначить через .

Поскольку любая прямая однозначно определяется двумя точками, то её можно обозначать данными точками: и т.д. Обозначение совершенно очевидно подразумевает, что точки принадлежат прямой .

Пора немного размяться:

Как составить уравнение прямой с угловым коэффициентом?

Если известна точка , принадлежащая некоторой прямой, и угловой коэффициент этой прямой, то уравнение данной прямой выражается формулой :

Пример 1

Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом , если известно, что точка принадлежит данной прямой.

Решение : Уравнение прямой составим по формуле . В данном случае:

Ответ :

Проверка выполняется элементарно. Во-первых, смотрим на полученное уравнение и убеждаемся, что наш угловой коэффициент на своём месте. Во-вторых, координаты точки должны удовлетворять данному уравнению. Подставим их в уравнение:

Получено верное равенство, значит, точка удовлетворяет полученному уравнению.

Вывод : уравнение найдено правильно.

Более хитрый пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Составить уравнение прямой, если известно, что её угол наклона к положительному направлению оси составляет , и точка принадлежит данной прямой.

Если возникли затруднения, перечитайте теоретический материал. Точнее больше практический, многие доказательства я пропускаю.

Прозвенел последний звонок, отгремел выпускной бал, и за воротами родной школы нас поджидает, собственно, аналитическая геометрия. Шутки закончились…. А может быть только начинаются =)

Ностальгически машем ручкой привычному и знакомимся с общим уравнением прямой. Поскольку в аналитической геометрии в ходу именно оно:

Общее уравнение прямой имеет вид : , где – некоторые числа. При этом коэффициенты одновременно не равны нулю, так как уравнение теряет смысл.

Оденем в костюм и галстук уравнение с угловым коэффициентом . Сначала перенесём все слагаемые в левую часть:

Слагаемое с «иксом» нужно поставить на первое место:

В принципе, уравнение уже имеет вид , но по правилам математического этикета коэффициент первого слагаемого (в данном случае ) должен быть положительным. Меняем знаки:

Запомните эту техническую особенность! Первый коэффициент (чаще всего ) делаем положительным!

В аналитической геометрии уравнение прямой почти всегда будет задано в общей форме. Ну, а при необходимости его легко привести к «школьному» виду с угловым коэффициентом (за исключением прямых, параллельных оси ординат).

Зададимся вопросом, что достаточно знать, чтобы построить прямую? Две точки. Но об этом детском случае позже, сейчас властвуют палочки со стрелочками. У каждой прямой есть вполне определённый наклон, к которому легко «приспособить» вектор .

Вектор, который параллелен прямой, называется направляющим вектором данной прямой . Очевидно, что у любой прямой бесконечно много направляющих векторов, причём все они будут коллинеарны (сонаправлены или нет – не важно).

Направляющий вектор я буду обозначать следующим образом: .

Но одного вектора недостаточно для построения прямой, вектор является свободным и не привязан к какой-либо точке плоскости. Поэтому дополнительно необходимо знать некоторую точку , которая принадлежит прямой.

Как составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору?

Если известна некоторая точка , принадлежащая прямой, и направляющий вектор этой прямой, то уравнение данной прямой можно составить по формуле :

Иногда его называют каноническим уравнением прямой .

Что делать, когда одна из координат равна нулю, мы разберёмся в практических примерах ниже. Кстати, заметьте – сразу обе координаты не могут равняться нулю, так как нулевой вектор не задаёт конкретного направления.

Пример 3

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Решение : Уравнение прямой составим по формуле . В данном случае:

С помощью свойств пропорции избавляемся от дробей:

И приводим уравнение к общему виду:

Ответ :

Чертежа в таких примерах, как правило, делать не нужно, но понимания ради:

На чертеже мы видим исходную точку , исходный направляющий вектор (его можно отложить от любой точки плоскости) и построенную прямую . Кстати, во многих случаях построение прямой удобнее всего осуществлять как раз с помощью уравнения с угловым коэффициентом. Наше уравнение легко преобразовать к виду и без проблем подобрать ещё одну точку для построения прямой.

Как отмечалось в начале параграфа, у прямой бесконечно много направляющих векторов, и все они коллинеарны. Для примера я нарисовал три таких вектора: . Какой бы направляющий вектор мы не выбрали, в результате всегда получится одно и то же уравнение прямой .

Составим уравнение прямой по точке и направляющему вектору :

Разруливаем пропорцию:

Делим обе части на –2 и получаем знакомое уравнение:

Желающие могут аналогичным образом протестировать векторы или любой другой коллинеарный вектор.

Теперь решим обратную задачу:

Как найти направляющий вектор по общему уравнению прямой?

Очень просто:

Если прямая задана общим уравнением в прямоугольной системе координат, то вектор является направляющим вектором данной прямой.

Примеры нахождения направляющих векторов прямых:

Утверждение позволяет найти лишь один направляющий вектор из бесчисленного множества, но нам больше и не нужно. Хотя в ряде случаев координаты направляющих векторов целесообразно сократить:

Так, уравнение задаёт прямую, которая параллельна оси и координаты полученного направляющего вектора удобно разделить на –2, получая в точности базисный вектор в качестве направляющего вектора. Логично.

Аналогично, уравнение задаёт прямую, параллельную оси , и, разделив координаты вектора на 5, получаем в качестве направляющего вектора орт .

Теперь выполним проверку Примера 3 . Пример уехал вверх, поэтому напоминаю, что в нём мы составили уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Во-первых , по уравнению прямой восстанавливаем её направляющий вектор: – всё нормально, получили исходный вектор (в ряде случаев может получиться коллинеарный исходному вектор, и это обычно несложно заметить по пропорциональности соответствующих координат).

Во-вторых , координаты точки должны удовлетворять уравнению . Подставляем их в уравнение:

Получено верное равенство, чему мы очень рады.

Вывод : задание выполнено правильно.

Пример 4

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Это пример для самостоятельного решения. Решение и ответ в конце урока. Крайне желательно сделать проверку по только что рассмотренному алгоритму. Старайтесь всегда (если это возможно) выполнять проверку на черновике. Глупо допускать ошибки там, где их 100%-но можно избежать.

В том случае, если одна из координат направляющего вектора нулевая, поступают очень просто:

Пример 5

Решение : Формула не годится, так как знаменатель правой части равен нулю. Выход есть! Используя свойства пропорции, перепишем формулу в виде , и дальнейшее покатилось по глубокой колее:

Ответ :

Проверка :

1) Восстановим направляющий вектор прямой :
– полученный вектор коллинеарен исходному направляющему вектору.

2) Подставим координаты точки в уравнение :

Получено верное равенство

Вывод : задание выполнено правильно

Возникает вопрос, зачем маяться с формулой , если существует универсальная версия , которая сработает в любом случае? Причин две. Во-первых, формула в виде дроби гораздо лучше запоминается . А во-вторых, недостаток универсальной формулы состоит в том, что заметно повышается риск запутаться при подстановке координат.

Пример 6

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору .

Это пример для самостоятельного решения.

Вернёмся к вездесущим двум точкам:

Как составить уравнение прямой по двум точкам?

Если известны две точки , то уравнение прямой, проходящей через данные точки, можно составить по формуле:

На самом деле это разновидность формулы и вот почему: если известны две точки , то вектор будет направляющим вектором данной прямой. На уроке Векторы для чайников мы рассматривали простейшую задачу – как найти координаты вектора по двум точкам. Согласно данной задаче, координаты направляющего вектора:

Примечание : точки можно «поменять ролями» и использовать формулу . Такое решение будет равноценным.

Пример 7

Составить уравнение прямой по двум точкам .

Решение : Используем формулу:

Причёсываем знаменатели:

И перетасовываем колоду:

Именно сейчас удобно избавиться от дробных чисел. В данном случае нужно умножить обе части на 6:

Раскрываем скобки и доводим уравнение до ума:

Ответ :

Проверка очевидна – координаты исходных точек должны удовлетворять полученному уравнению:

1) Подставим координаты точки :

Верное равенство.

2) Подставим координаты точки :

Верное равенство.

Вывод : уравнение прямой составлено правильно.

Если хотя бы одна из точек не удовлетворяет уравнению, ищите ошибку.

Стоит отметить, что графическая проверка в данном случае затруднительна, поскольку построить прямую и посмотреть, принадлежат ли ей точки , не так-то просто.

Отмечу ещё пару технических моментов решения. Возможно, в данной задаче выгоднее воспользоваться зеркальной формулой и, по тем же точкам составить уравнение:

Таки дробей поменьше. Если хотите, можете довести решение до конца, в результате должно получиться то же самое уравнение.

Второй момент состоит в том, чтобы посмотреть на итоговый ответ и прикинуть, нельзя ли его ещё упростить? Например, если получилось уравнение , то здесь целесообразно сократить на двойку: – уравнение будет задавать ту же самую прямую. Впрочем, это уже тема разговора о взаимном расположении прямых .

Получив ответ в Примере 7, я на всякий случай, проверил, не делятся ли ВСЕ коэффициенты уравнения на 2, 3 или 7. Хотя, чаще всего подобные сокращения осуществляются ещё по ходу решения.

Пример 8

Составить уравнение прямой, проходящей через точки .

Это пример для самостоятельного решения, который как раз позволит лучше понять и отработать технику вычислений.

Аналогично предыдущему параграфу: если в формуле один из знаменателей (координата направляющего вектора) обращается в ноль, то переписываем её в виде . И снова заметьте, как неуклюже и запутанно она стала выглядеть. Не вижу особого смысла приводить практические примеры, поскольку такую задачу мы уже фактически прорешали (см. № 5, 6).

Вектор нормали прямой (нормальный вектор)

Что такое нормаль? Простыми словами, нормаль – это перпендикуляр. То есть, вектор нормали прямой перпендикулярен данной прямой. Очевидно, что у любой прямой их бесконечно много (так же, как и направляющих векторов), причём все векторы нормали прямой будут коллинеарными (сонаправленными или нет – без разницы).

Разборки с ними будут даже проще, чем с направляющими векторами:

Если прямая задана общим уравнением в прямоугольной системе координат, то вектор является вектором нормали данной прямой.

Если координаты направляющего вектора приходится аккуратно «вытаскивать» из уравнения, то координаты вектора нормали достаточно просто «снять».

Вектор нормали всегда ортогонален направляющему вектору прямой. Убедимся в ортогональности данных векторов с помощью скалярного произведения :

Приведу примеры с теми же уравнениями, что и для направляющего вектора:

Можно ли составить уравнение прямой, зная одну точку и вектор нормали? Нутром чувствуется, можно. Если известен вектор нормали, то однозначно определено и направление самой прямой – это «жёсткая конструкция» с углом в 90 градусов.

Как составить уравнение прямой по точке и вектору нормали?

Если известна некоторая точка , принадлежащая прямой, и вектор нормали этой прямой, то уравнение данной прямой выражается формулой :

Тут всё обошлось без дробей и прочих нежданчиков. Такой вот у нас нормальный вектор. Любите его. И уважайте =)

Пример 9

Составить уравнение прямой по точке и вектору нормали . Найти направляющий вектор прямой.

Решение : Используем формулу:

Общее уравнение прямой получено, выполним проверку:

1) «Снимаем» координаты вектора нормали с уравнения : – да, действительно, получен исходный вектор из условия (либо должен получиться коллинеарный исходному вектор).

2) Проверим, удовлетворяет ли точка уравнению :

Верное равенство.

После того, как мы убедились в том, что уравнение составлено правильно, выполним вторую, более лёгкую часть задания. Вытаскиваем направляющий вектор прямой:

Ответ :

На чертеже ситуация выглядит следующим образом:

В целях тренировки аналогичная задача для самостоятельного решения:

Пример 10

Составить уравнение прямой по точке и нормальному вектору . Найти направляющий вектор прямой.

Заключительный раздел урока будет посвящен менее распространённым, но тоже важным видам уравнений прямой на плоскости

Уравнение прямой в отрезках.
Уравнение прямой в параметрической форме

Уравнение прямой в отрезках имеет вид , где – ненулевые константы. Некоторые типы уравнений нельзя представить в таком виде, например, прямую пропорциональность (так как свободный член равен нулю и единицу в правой части никак не получить).

Это, образно говоря, «технический» тип уравнения. Обыденная задача состоит в том, чтобы общее уравнение прямой представить в виде уравнения прямой в отрезках . Чем оно удобно? Уравнение прямой в отрезках позволяет быстронайти точки пересечения прямой с координатными осями, что бывает очень важным в некоторых задачах высшей математики.

Найдём точку пересечения прямой с осью . Обнуляем «игрек», и уравнение принимает вид . Нужная точка получается автоматически: .

Аналогично с осью – точка, в которой прямая пересекает ось ординат.

Составить уравнение - значит выразить в математической форме связь между данными (известными) задачи и искомыми (неизвестными) ее величинами. Иногда эта связь, настолько явно содержится в формулировке задачи, что составление уравнения есть просто дословный пересказ задачи, на языке математических знаков.

Пример 1. Петров получил за работу на 160 руб. больше, чем половина суммы, которую получил Иванов. Вместе они получили 1120 руб. Сколько получили за работу Петров и Иванов? Обозначим через х заработок Иванова. Половина его заработка есть 0,5x ; месячной заработок Петрова 0,5x + 160 вместе они зарабатывают 1120 руб.; математическая запись последней фразы будет

(0,5x + 160) + x = 1120.

Уравнение составлено. Решая его по раз установленным правилам, находим, заработок Иванова х = 640руб.; заработок же Петрова 0,5x+ 160=480 (руб.).

Чаше, однако, случается, что связь между данными и искомыми величинами не указывается в задаче прямо; ее нужно установить, исходя из условий задачи. В практических задачах так и бывает почти всегда. Только что приведенный пример носит надуманный характер; в жизни почти никогда подобных задач не встречается.

Для составления уравнения поэтому нельзя дать вполне исчерпывающих указаний. Однако на первых порах полезно руководствоваться следующим. Примем за значение искомой величины (или нескольких величин) какое-нибудь наугад взятое число (или несколько чисел) и поставим себе задачу проверить, угадали ли мы правильное решение задачи или нет. Если мы сумели провести эту проверку и обнаружить либо то, что догадка наша верна, либо то, что она неверна (скорее всего случится, конечно, второе), то мы немедленно можем составить нужное уравнение (или несколько уравнений). Именно, запишем те самые действия, которые мы производили для проверки, только вместо наугад взятого числа введем буквенной знак неизвестной величины. Мы получим требуемое уравнение.

Пример 2. Кусок сплава меди и цинка объемом в 1 дм3 весит 8,14 кг. Сколько меди содержится в сплаве? (уд. вес меди 8,9 кг/дм3; цинка - 7,0 кг/дм3).

Возьмем наугад число, выражающее искомый объем меди, например 0,3 дм3. Проверим, удачно ли мы взяли это число. Так как 1 кг/дм3 меди весит 8,9 кг, то 0,3 дм3 весят 8,9 * 0,3 = 2,67 (кг). Объем цинка в сплаве есть 1 - 0,3 = 0,7 (дм3). Вес его 7,0 0,7 = 4,9 (кг). Общий вес цинка и меди 2,67+ +4,9 = 7,57 (кг). Между тем вес нашего куска, по условию задачи, 8,14 кг. Догадка наша несостоятельна. Но зато мы немедленно получим уравнение решение которого даст правильный ответ. Вместо наугад взятого числа 0,3 дм3 обозначим объем меди (в дм3) через х. Вместо произведения 8,9 0,3 = 2,67 берем произведшие 8,9 x. Это - вес меди в сплаве. Вместо 1 – 0,3 = 0,7 берем 1 - х; это - объем цинка. Вместо 7,0 0,7 = 4,9 берем 7,0 (1 - x); это - вес цинка. Вместо 2,67+4,9 берем 8,9х + 7,0 (1 - х); это - общий вес цинка и меди. По условию он равен 8,14 кг; значит, 8,9х +7,0 (1 - x)= 8,14.

Решение этого уравнения дает x = 0,6. Проверку наугад взятого решения можно делать различными способами; соответственно этому можно получить для одной и той же задачи различные виды уравнения; все они, однако, дадут для искомой величины одно и, то же решение, такие уравнения называются равносильными друг другу.

Разумеется, после получения навыков в составлении уравнений нет нужды производить проверку наугад взятого числа: можно для значения искомой величины брать не число, а какую-нибудь букву (х, у и т. д.) и поступать так, как если бы эта буква (неизвестное) была тем числом, проверить которое мы собираемся.